Um grande tanque cilíndrico, com diâmetro
, está aberto para o ar na parte superior. O tanque contém água até uma altura
. Um pequeno furo circular, com diâmetro
, onde
, é aberto no fundo do tanque. Ignore quaisquer efeitos da viscosidade.
a) Determine
, a altura da água no tanque em um tempo
após o furo ser aberto, como função de t .
b) Quanto tempo é necessário para drenar totalmente o tanque?
c) Se você dobrar a altura
, por qual fator aumentará o tempo para drenar o tanque?
a) Determine
b) Quanto tempo é necessário para drenar totalmente o tanque?
c) Se você dobrar a altura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre a drenagem de um tanque cilíndrico. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a lei de Torricelli, que nos ajuda a entender como a água sai de um furo. Vamos determinar como a altura da água muda com o tempo, calcular quanto tempo demora para o tanque esvaziar totalmente e ver como o tempo muda se dobrarmos a altura inicial da água.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a lei de Torricelli: a velocidade com que a água sai pelo furo é proporcional à raiz quadrada da altura da água acima do furo. Matematicamente, isso é expresso como:
onde $ v $ é a velocidade da água, $ g $ é a aceleração da gravidade e $ y $ é a altura da água.
Passo 3
A taxa de saída de água ($ \frac{dV}{dt} $) depende da área do furo e da velocidade da água:
onde $ A_f $ é a área do furo.
Passo 4
A variação do volume no tanque é relacionada à variação da altura da água:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 5
Igualamos as duas expressões para $ \frac{dV}{dt} $:
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo.
Passo 6
Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por $ \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 $:
Passo 7
Separando as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Determinar a constante de integração $ C $ usando a condição inicial $ y(0) = H $:
Então,
Passo 9
Isolar $ \sqrt{y} $:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Para pequenos tempos, o termo quadrático pode ser desprezado, então:
Passo 11
Portanto, a função que descreve a altura da água em função do tempo é:
Resposta
A altura da água no tanque após um tempo $ t $ é dada por: