Um grande tanque cilíndrico, com diâmetro D, está aberto para o ar na parte superior. O tanque contém água até uma altura H. Um pequeno furo circular, com diâmetro d, onde d<, é aberto no fundo do tanque. Ignore quaisquer efeitos da viscosidade.
a) Determine y, a altura da água no tanque em um tempo t após o furo ser aberto, como função de t .
b) Quanto tempo é necessário para drenar totalmente o tanque?
c) Se você dobrar a altura H, por qual fator aumentará o tempo para drenar o tanque?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre a drenagem de um tanque cilíndrico. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a lei de Torricelli, que nos ajuda a entender como a água sai de um furo. Vamos determinar como a altura da água muda com o tempo, calcular quanto tempo demora para o tanque esvaziar totalmente e ver como o tempo muda se dobrarmos a altura inicial da água.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a lei de Torricelli: a velocidade com que a água sai pelo furo é proporcional à raiz quadrada da altura da água acima do furo. Matematicamente, isso é expresso como:
v = raiz2g y
onde $ v $ é a velocidade da água, $ g $ é a aceleração da gravidade e $ y $ é a altura da água.

Passo 3

A taxa de saída de água ($ \frac{dV}{dt} $) depende da área do furo e da velocidade da água:
dVdt
onde $ A_f $ é a área do furo.

Passo 4

A variação do volume no tanque é relacionada à variação da altura da água:
V = pi ( D2 )^2 y
Derivando em relação ao tempo:
dVdt = pi ( D2 )^2 dydt

Passo 5

Igualamos as duas expressões para $ \frac{dV}{dt} $:
dVdt
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo.

Passo 6

Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por $ \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 $:
pi ( D2 )^2

Passo 7

Separando as variáveis para integrar:
dyraizy = -( dD )^2 raiz2g dt
Integrando ambos os lados:
2raizy = -( dD )^2 raiz2g t + C

Passo 8

Determinar a constante de integração $ C $ usando a condição inicial $ y(0) = H $:
C
Então,
y(0) = H

Passo 9

Isolar $ \sqrt{y} $:
raizy
Elevando ao quadrado ambos os lados:
raizy = raizH - 12( dD )^2 raiz2g t

Passo 10

Simplificando a expressão:
y(t) = H - ( dD )^2 raiz2g H t + 14( dD )^4 2g t^2
Para pequenos tempos, o termo quadrático pode ser desprezado, então:
y(t) approx H - ( dD )^2 raiz2g H t

Passo 11

Portanto, a função que descreve a altura da água em função do tempo é:
y(t) = H - ( dD )^2 raiz2g H t

Resposta

A altura da água no tanque após um tempo $ t $ é dada por:
t

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