Os satélites Starlink da empresa norte-americana SpaceX usam propulsores de efeito Hall para ajustes da orientação. O mecanismo completo do propulsor é complicado, mas envolve a ionização de átomos de criptônio e a aceleração dos elétrons liberados, e^-, e dos íons positivos de criptônio, Kr^+, antes que sejam submetidos a um campo magnético. Se eles entram em uma região em que existe um campo magnético de 0,020 T perpendicular à trajetória com uma velocidade de 21 km / s, qual é o raio de curvatura dos íons positivos (que sofrem um desvio muito pequeno)? A diferença entre as deflexões separa os elétrons e os íons de Kr^+ dentro do pequeno espaço do satélite. A massa do Kr é 1,39 times 10^-25 kg.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como os satélites Starlink da SpaceX usam campos magnéticos para ajustar a orientação deles. A gente precisa descobrir o raio de curvatura dos íons positivos de criptônio ( Kr^+ ) quando eles passam por um campo magnético. Para isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento circular de partículas carregadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando partículas carregadas, como os íons de Kr^+, se movem através de um campo magnético perpendicular à sua velocidade, elas sofrem uma força que as faz desviar de trajetória, descrevendo um movimento circular. Essa força é conhecida como força de Lorentz.

Passo 3

A força de Lorentz ( F) que atua sobre uma partícula carregada em um campo magnético é dada pela fórmula:
F = q cdot v cdot B
Onde:
  • q é a carga da partícula,
  • v é a velocidade da partícula,
  • B é a intensidade do campo magnético.

Passo 4

Essa força magnética também é responsável por fornecer a força centrípeta necessária para a partícula se mover em um círculo. A força centrípeta ( Fc) é dada por:
Fc = m cdot v^2r
Onde:
  • m é a massa da partícula,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio de curvatura que queremos encontrar.

Passo 5

Como a força magnética fornece a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
q cdot v cdot B = m cdot v^2r

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o raio r:
r = m cdot vq cdot B

Passo 7

Vamos substituir os valores fornecidos no problema:
  • Massa do Kr^+: m = 1,39 times 10^-25 , kg
  • Velocidade: v = 21 , km/s = 21000 , m/s
  • Campo magnético: B = 0,020 , T
  • Carga do Kr^+: q = 1,602 times 10^-19 , C (considerando carga +1)
Substituindo na fórmula:
r = 1,39 times 10^-25 , kg times 21000 , m/s1,602 times 10^-19 , C times 0,020 , T

Passo 8

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador = 1,39 times 10^-25 times 21000 = 2,919 times 10^-21 , kg·m/s
Denominador = 1,602 times 10^-19 times 0,020 = 3,204 times 10^-21 , C·T

Passo 9

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
r = 2,919 times 10^-213,204 times 10^-21 approx 0,91 , metros

Resposta

O raio de curvatura dos íons positivos Kr^+ é aproximadamente 0,91 metros.

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