Questão 1. Resolva as EDO y^prime=-yx(Resp y=C / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada: $ y’ = -\frac{y}{x} $. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde podemos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação original é:
y
Podemos reescrever isso para isolar os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função $ y $ em termos de $ x $:
y
Integrando, temos:
x
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Para simplificar, vamos usar propriedades dos logaritmos. Podemos reescrever a equação como:
ln|y| = ln(1x) + C
Exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
y = e^ln(1x) + C = e^Cx
Como $ e^C $ é apenas outra constante, podemos simplificar $ e^C $ para $ C $:
e^C

Resposta

A solução geral da EDO é $ y = \frac{C}{x} $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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