Grandes fardos cilíndricos de feno, usados para alimentar o gado nos meses de inverno, têm diâmetro D=2,4 \mathrm{~m} e são armazenados encostados um ao outro de modo a formarem longos cilindros. Geração microbiológica de energia ocorre no feno e pode ser excessiva se o fazendeiro enfardar o feno em condições muito úmidas. Suponha que a condutividade térmica do feno no fardo seja \mathrm{k}=0,08 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e que as condições do ambiente sejam \mathrm{T}=5^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Considerando estado estacionário e desprezando a transferência de calor por radiação determine.
a) A temperatura máxima no feno para o feno seco \left(\dot{q}=2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right) e feno úmido \left(\dot{q}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right).
b) A taxa de transferência de calor para o ambiente por unidade de comprimento do fardo de feno para cada uma das situações do item a.

Passo 1

O enunciado (peguei estes valores do enunciado) fornece:
  • Diâmetro do fardo: D=2,4\\ \mathrm{m}. Portanto o raio é R=\dfrac{D}{2}=1,2\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do feno: k=0,08\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty=5^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção com o ar: h=25\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Geração volumétrica de calor (estado estacionário) para os dois casos:
    • feno seco: \dot{q}=2\\ \mathrm{W/m^3}.
    • feno úmido: \dot{q}=12\\ \mathrm{W/m^3}.
O que o problema pede:
a) Determinar a temperatura máxima no feno (isto é, a temperatura no centro do cilindro) para cada valor de \dot{q}.
b) Determinar a taxa de transferência de calor para o ambiente por unidade de comprimento do fardo (isto é, Q' em \mathrm{W/m}) para cada situação.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial a usar (explicação didática):
  • O fardo é longo e cilíndrico; em regime estacionário a variação de temperatura ao longo do eixo é desprezível, então a temperatura depende só do raio r.
  • Para condução radial com geração volumétrica uniforme \dot{q} em coordenadas cilíndricas, a equação de balanço energético (forma reduzida) é:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k}=0.
Aqui T(r) é a temperatura no ponto de raio r, k é a condutividade térmica e \dot{q} é potência gerada por unidade de volume.

Passo 3

Solução da equação diferencial (integração passo a passo):
  • Multiplicando por r e integrando uma vez:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{\dot{q}}{k}\,r
r\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k}\,r^2+C_1.
  • Dividindo por r:
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k}\,r+\frac{C_1}{r}.
  • Condição física no centro: para que T(r) seja finita em r=0 o termo C_1/r deve desaparecer; logo C_1=0. Assim
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k}\,r.
  • Integrando novamente:
T(r)= -\frac{\dot{q}}{4k}\,r^2 + C_2.
A constante C_2 é a temperatura no centro: T(0)=C_2. Portanto a distribuição é parabólica radialmente:
T(r)=T(0)-\frac{\dot{q}}{4k}\,r^2.

Passo 4

Condição de contorno na superfície (convecção) e obtenção de T(0):
  • No raio r=R a condição de contorno de Newton é:
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R}=h\bigl(T(R)-T_\infty\bigr).
  • Calculando o gradiente em r=R a partir da solução:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R}=-\frac{\dot{q}}{2k}\,R.
  • Substituindo na condição de convecção:
-k\left(-\frac{\dot{q}}{2k}\,R\right)=h\bigl(T(R)-T_\infty\bigr) \quad\Rightarrow\quad \frac{\dot{q}R}{2}=h\bigl(T(R)-T_\infty\bigr).
  • Isolando T(R):
T(R)=T_\infty+\frac{\dot{q}R}{2h}.
  • Lembrando que T(0)=T(R)+\dfrac{\dot{q}R^2}{4k} (da forma T(r) com r=0 e r=R), obtemos a temperatura central:
T(0)=T_\infty+\frac{\dot{q}R}{2h}+\frac{\dot{q}R^2}{4k}.
Esta fórmula tem interpretação clara: o aumento de temperatura no centro acima do ambiente é soma de duas resistências térmicas efetivas — uma associada à convecção na superfície e outra associada à condução do centro até a superfície.

Passo 5

Simplificação e preparo para cálculo numérico:
  • Para usar a fórmula numérica, calcule separadamente os dois termos que dependem de R,h,k:
\frac{R}{2h}=\frac{1,2}{2\cdot 25}= \frac{1,2}{50}=0,024\\ \mathrm{(m/(W/m^2\cdot K))},
\frac{R^2}{4k}=\frac{(1,2)^2}{4\cdot 0,08}=\frac{1,44}{0,32}=4,5\\ \mathrm{(m^2\!/\!(W/K))}.
  • A soma que multiplica \dot{q} é:
\frac{R}{2h}+\frac{R^2}{4k}=0,024+4,5=4,524.
Portanto
T(0)=T_\infty+\dot{q}\cdot 4,524.

Passo 6

Cálculo numérico da temperatura máxima (item a):
  • Para \dot{q}=2\\ \mathrm{W/m^3} (feno seco):
T(0)=5+\;2\cdot 4,524=5+9,048=14,048^\circ\mathrm{C}.
  • Para \dot{q}=12\\ \mathrm{W/m^3} (feno úmido):
T(0)=5+\;12\cdot 4,524=5+54,288=59,288^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Taxa de transferência de calor por unidade de comprimento (item b) — explicação:
  • Em regime estacionário, a energia gerada por unidade de comprimento no cilindro deve ser totalmente removida para o ambiente. A geração por unidade de comprimento é \dot{q} multiplicada pela área da seção transversal:
Q'=\dot{q}\cdot \text{Área}=\dot{q}\cdot \pi R^2.Á
  • Alternativamente poderia-se calcular por convecção na superfície:
Q' = h\bigl(T(R)-T_\infty\bigr)\cdot 2\pi R,
e essas duas expressões são equivalentes (validação energética).

Passo 8

Cálculo numérico de Q':
  • Primeiro calcule \pi R^2=\pi\cdot 1,2^2=\pi\cdot 1,44\approx 4,5239\\ \mathrm{m^2}.
  • Para \dot{q}=2\\ \mathrm{W/m^3}:
Q' = 2\cdot \pi\cdot 1,44 \approx 9,048\\ \mathrm{W/m}.
  • Para \dot{q}=12\\ \mathrm{W/m^3}:
Q' = 12\cdot \pi\cdot 1,44 \approx 54,288\\ \mathrm{W/m}.

Passo 9

Resumo físico e incentivo rápido
  • Resultado esperado: feno seco atinge temperatura baixa e segura; feno úmido pode aquecer muito (aqui ~59^\circ\mathrm{C}), o que explica risco de aquecimento microbiológico. Vai dar tudo certo: com poucos cálculos dá para avaliar o perigo — bom trabalho em encarar isso rápido!

Resposta

(a) T_{\max} (feno seco, \dot{q}=2\\ \mathrm{W/m^3}) =14,048^\circ\mathrm{C} \
(a) T_{\max} (feno úmido, \dot{q}=12\\ \mathrm{W/m^3}) =59,288^\circ\mathrm{C} \
(b) Q' (feno seco) =\pi R^2\dot{q}=9,048\\ \mathrm{W/m} \
(b) Q' (feno úmido) =\pi R^2\dot{q}=54,288\\ \mathrm{W/m}

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