Grandes fardos cilíndricos de feno, usados para alimentar o gado nos meses de inverno, têm diâmetro D=2,4 \mathrm{~m} e são armazenados encostados um ao outro de modo a formarem longos cilindros. Geração microbiológica de energia ocorre no feno e pode ser excessiva se o fazendeiro enfardar o feno em condições muito úmidas. Suponha que a condutividade térmica do feno no fardo seja \mathrm{k}=0,08 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e que as condições do ambiente sejam \mathrm{T}=5^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Considerando estado estacionário e desprezando a transferência de calor por radiação determine.
a) A temperatura máxima no feno para o feno seco \left(\dot{q}=2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right) e feno úmido \left(\dot{q}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right).
b) A taxa de transferência de calor para o ambiente por unidade de comprimento do fardo de feno para cada uma das situações do item a.
Passo 1
O enunciado (peguei estes valores do enunciado) fornece:
Diâmetro do fardo: D=2,4\\ \mathrm{m}. Portanto o raio é R=\dfrac{D}{2}=1,2\\ \mathrm{m}.
Condutividade térmica do feno: k=0,08\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Temperatura ambiente: T_\infty=5^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de convecção com o ar: h=25\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Geração volumétrica de calor (estado estacionário) para os dois casos:
feno seco: \dot{q}=2\\ \mathrm{W/m^3}.
feno úmido: \dot{q}=12\\ \mathrm{W/m^3}.
O que o problema pede:
a) Determinar a temperatura máxima no feno (isto é, a temperatura no centro do cilindro) para cada valor de \dot{q}.
b) Determinar a taxa de transferência de calor para o ambiente por unidade de comprimento do fardo (isto é, Q' em \mathrm{W/m}) para cada situação.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial a usar (explicação didática):
O fardo é longo e cilíndrico; em regime estacionário a variação de temperatura ao longo do eixo é desprezível, então a temperatura depende só do raio r.
Para condução radial com geração volumétrica uniforme \dot{q} em coordenadas cilíndricas, a equação de balanço energético (forma reduzida) é:
Esta fórmula tem interpretação clara: o aumento de temperatura no centro acima do ambiente é soma de duas resistências térmicas efetivas — uma associada à convecção na superfície e outra associada à condução do centro até a superfície.
Passo 5
Simplificação e preparo para cálculo numérico:
Para usar a fórmula numérica, calcule separadamente os dois termos que dependem de R,h,k:
Taxa de transferência de calor por unidade de comprimento (item b) — explicação:
Em regime estacionário, a energia gerada por unidade de comprimento no cilindro deve ser totalmente removida para o ambiente. A geração por unidade de comprimento é \dot{q} multiplicada pela área da seção transversal:
Resultado esperado: feno seco atinge temperatura baixa e segura; feno úmido pode aquecer muito (aqui ~59^\circ\mathrm{C}), o que explica risco de aquecimento microbiológico. Vai dar tudo certo: com poucos cálculos dá para avaliar o perigo — bom trabalho em encarar isso rápido!