Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidade
A tarefa é verificar se esse campo descreve um escoamento de fluido compressível ou incompressível. Vou listar o que temos de dado:
- Componente
da velocidade: . - Componente
da velocidade: . - O campo depende explicitamente de
e de (via ).
Passo 2
Primeiro, qual é o critério prático que usamos em provas para decidir incompressibilidade? Vou explicar de forma clara e sem pular etapas.
A equação de continuidade para um fluido compressível é
onde
é a densidade e
é o campo de velocidade. Expandindo usando a derivada material
, obtém-se a forma
A definição prática de escoamento incompressível (no sentido usual em muitas disciplinas) é que a densidade de cada partícula fluidal não muda ao longo do movimento, ou seja,
Substituindo isso na equação acima segue que, para
,
Portanto, um teste simples e suficiente (e normalmente usado em provas) é calcular a divergência do campo de velocidade; se
em todo o domínio, o escoamento é incompressível (a densidade é conservada ao longo das trajetórias). Se
, o escoamento é compressível.
Passo 3
Calcular a divergência do campo dado passo a passo.
Definimos
A divergência em coordenadas cartesianas (2D) é
Agora calculamos cada derivada parcial:
-
.
(Observe queé tratado como constante ao derivar em relação a , então o termo some.) -
.
(Aquié tratado como constante ao derivar em relação a .)
Somando:
Passo 4
Interpretação física e conclusão didática.
A divergência do campo de velocidade é nula para todos os
:
identicamente. Pelo argumento da equação de continuidade, isso implica que
: a densidade de cada partícula não muda ao longo do movimento. Logo o escoamento é incompressível. Note que o fato de o campo depender de
(ter o termo
) não impede a incompressibilidade; o que importa é a divergência espacial, que aqui cancelou.
Força aí — a conta é curta e direta: basta lembrar de calcular a divergência e checar se é zero.
Resposta
Incompressível.