Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
V(x, y)=\left(-2 x-4 t^{2}\right) \boldsymbol{i}+(2 x+2 y) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
\mathbf{V}(x,y)=\left(-2x-4t^{2}\right)\boldsymbol{i}+\left(2x+2y\right)\boldsymbol{j}
A tarefa é verificar se esse campo descreve um escoamento de fluido compressível ou incompressível. Vou listar o que temos de dado:
  • Componente x da velocidade: V_x(x,y,t)=-2x-4t^{2}.
  • Componente y da velocidade: V_y(x,y,t)=2x+2y.
  • O campo depende explicitamente de x,y e de t (via t^{2}).

Passo 2

Primeiro, qual é o critério prático que usamos em provas para decidir incompressibilidade? Vou explicar de forma clara e sem pular etapas.
A equação de continuidade para um fluido compressível é
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=0,
onde \rho=\rho(x,y,t) é a densidade e \mathbf{V} é o campo de velocidade. Expandindo usando a derivada material \dfrac{D}{Dt}=\dfrac{\partial}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot\nabla, obtém-se a forma
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\,\nabla\cdot\mathbf{V}=0.
A definição prática de escoamento incompressível (no sentido usual em muitas disciplinas) é que a densidade de cada partícula fluidal não muda ao longo do movimento, ou seja,
\frac{D\rho}{Dt}=0.
Substituindo isso na equação acima segue que, para \rho\neq0,
\rho\,\nabla\cdot\mathbf{V}=0\quad\Rightarrow\quad\nabla\cdot\mathbf{V}=0.
Portanto, um teste simples e suficiente (e normalmente usado em provas) é calcular a divergência do campo de velocidade; se \nabla\cdot\mathbf{V}=0 em todo o domínio, o escoamento é incompressível (a densidade é conservada ao longo das trajetórias). Se \nabla\cdot\mathbf{V}\neq0, o escoamento é compressível.

Passo 3

Calcular a divergência do campo dado passo a passo.
Definimos
V_x(x,y,t)=-2x-4t^{2},\qquad V_y(x,y,t)=2x+2y.
A divergência em coordenadas cartesianas (2D) é
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}.
Agora calculamos cada derivada parcial:
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x-4t^{2}\bigr)=-2.
    (Observe que t é tratado como constante ao derivar em relação a x, então o termo -4t^{2} some.)
  • \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x+2y\bigr)=2.
    (Aqui x é tratado como constante ao derivar em relação a y.)
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{V}=-2+2=0.

Passo 4

Interpretação física e conclusão didática.
A divergência do campo de velocidade é nula para todos os (x,y,t): \nabla\cdot\mathbf{V}=0 identicamente. Pelo argumento da equação de continuidade, isso implica que \dfrac{D\rho}{Dt}=0: a densidade de cada partícula não muda ao longo do movimento. Logo o escoamento é incompressível. Note que o fato de o campo depender de t (ter o termo -4t^{2}) não impede a incompressibilidade; o que importa é a divergência espacial, que aqui cancelou.
Força aí — a conta é curta e direta: basta lembrar de calcular a divergência e checar se é zero.

Resposta

Incompressível.

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