Esboce a região do plano que corresponde às condições dadas em coordenadas polares:
(c) r>0, pi / 4 <= theta <= 3 pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar geometricamente a região do plano dada em coordenadas polares por
r>0, pi4<=theta<=3pi4
Esse exercício envolve interpretar restrições em r e theta para obter um setor no plano.

Passo 2

A condição r>0 significa que consideramos todos os pontos que não são o polo (origem). Cada ponto dessa região está em algum raio (semirreta) que parte da origem e se estende até o infinito.

Passo 3

A condição pi4<=theta<=3pi4 faz o raio girar de 45^circ até 135^circ.
– Para theta=pi4 a fronteira é a reta que passa pela origem com inclinação 1, ou seja, y=x.
– Para theta=3pi4 a fronteira é a reta que passa pela origem com inclinação tan(3pi/4)=-1, restrita ao semiplano superior, ou seja, y=-x com y>=0.

Passo 4

Juntando as duas condições, obtemos um setor infinito (wedge) no semiplano superior, limitado pelas semirretas theta=pi/4 e theta=3pi/4, incluindo essas fronteiras angulares, mas excluindo o polo.

Resposta

O esboço é um setor infinito no semiplano superior, limitado pelas retas
y = x e y = -x,
a partir da origem, correspondendo aos ângulos theta=pi/4 e theta=3pi/4, com r>0 (origem não incluída).

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