Para a grandeza potência:
(a) Demonstre que [P]=M L^{2} T^{-3} no sistema MLT
(b) Converta para o sistema FLT
(c) Mostre que 1 \mathrm{Watt}=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s} em termos dimensionais

Passo 1

O enunciado pede a análise dimensional da potência P. Vamos usar o sistema MLT (massa, comprimento, tempo) para encontrar [P], depois converter para o sistema FLT (força, comprimento, tempo) e, por fim, mostrar que em unidades 1 Watt é igual a 1 N\cdot m/s.

Passo 2

Definimos potência como trabalho por tempo:
P = \frac{W}{t}.
O trabalho W é força vezes deslocamento, logo sua dimensão é
[W] = [F]\,[L] = \bigl(M\,L\,T^{-2}\bigr)\,L = M\,L^{2}\,T^{-2}.
Dividindo por tempo, obtemos
[P] = \frac{[W]}{[T]} = M\,L^{2}\,T^{-3}.

Passo 3

No sistema FLT a força F é base, e sabemos
[F] = M\,L\,T^{-2}
ou seja
M = \frac{F\,T^{2}}{L}.
Substituindo em [P]=M\,L^{2}\,T^{-3}, dá
[P] = \frac{F\,T^{2}}{L}\;L^{2}\;T^{-3} = F\,L\,T^{-1}.

Passo 4

Em unidades, potência é energia por tempo:
1\,\mathrm{W} = 1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}},
e joule é newto n\cdot metro:
1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Logo
1\,\mathrm{W} = \frac{1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{1\,\mathrm{s}} = 1\,\mathrm{N\cdot m/s}.

Resposta

(a) [P]=M\,L^{2}\,T^{-3} no sistema MLT.
(b) [P]=F\,L\,T^{-1} no sistema FLT.
(c) 1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{N\cdot m/s}.

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