A equação de Bernoulli para fluidos incompressíveis é:
p+\frac{1}{2} \rho v^{2}+\rho g h=\text { constante }
(a) Verifique a homogeneidade dimensional no sistema MLT
(b) Verifique a homogeneidade dimensional no sistema FLT
(c) Qual termo tem a mesma dimensão de pressão?

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli para um fluido incompressível
p + \tfrac12\,\rho\,v^2 + \rho\,g\,h = \text{constante}
e pede:
(a) verificar homogeneidade dimensional no sistema MLT;
(b) verificar homogeneidade dimensional no sistema FLT;
(c) dizer qual termo tem dimensão de pressão.

Passo 2

Identificamos as dimensões básicas no sistema MLT: \,p: pressão
[p] = M\,L^{-1}\,T^{-2} \rho: densidade
[\rho] = M\,L^{-3} v: velocidade
[v] = L\,T^{-1} g: aceleração da gravidade
[g] = L\,T^{-2} h: comprimento (altura)
[h] = L

Passo 3

Verificação em MLT:
  1. Termo de pressão
[p] = M\,L^{-1}\,T^{-2}.
  1. Termo dinâmico
[\rho\,v^2] = (M\,L^{-3})\,(L\,T^{-1})^2 = M\,L^{-1}\,T^{-2}.
  1. Termo hidrostático
[\rho\,g\,h] = (M\,L^{-3})\,(L\,T^{-2})\,(L) = M\,L^{-1}\,T^{-2}.
Logo, todos os três termos têm dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}, confirmando a homogeneidade no sistema MLT.

Passo 4

Verificação em FLT:
Recordando que
F = M\,L\,T^{-2} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{F\,T^2}{L},
substituímos em cada termo:
  1. Pressão
[p] = M\,L^{-1}\,T^{-2} = \frac{F\,T^2}{L}\,L^{-1}\,T^{-2} = F\,L^{-2}.
  1. Dinâmico
[\rho\,v^2] = (M\,L^{-3})\,(L^2\,T^{-2}) = \frac{F\,T^2}{L}\,L^{-3}\,L^2\,T^{-2} = F\,L^{-2}.
  1. Hidrostático
[\rho\,g\,h] = (M\,L^{-3})\,(L\,T^{-2})\,(L) = F\,L^{-2}.
Assim, todos os termos têm dimensão F\,L^{-2}, o que confirma a homogeneidade no sistema FLT.

Passo 5

Os termos dinâmico \tfrac12\,\rho\,v^2 e hidrostático \rho\,g\,h têm exatamente a mesma dimensão de p, ou seja, de pressão.

Resposta

(a) Em MLT, todos os termos têm dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}.
(b) Em FLT, todos os termos têm dimensão F\,L^{-2}.
(c) Os termos \tfrac12\,\rho\,v^2 e \rho\,g\,h têm dimensão de pressão.

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