Considere o número de Reynolds R e=\frac{\rho v D}{\mu} :
(a) Mostre que é adimensional no sistema MLT
(b) Mostre que é adimensional no sistema FLT
(c) Qual é a vantagem de se usar números adimensionais na análise de fenômenos de transporte?

Passo 1

O enunciado define o número de Reynolds como
\mathrm{Re} = \frac{\rho \, v \, D}{\mu},
onde \rho é densidade, v é velocidade característica, D é dimensão linear e \mu é viscosidade dinâmica. O objetivo é mostrar que \mathrm{Re} é adimensional em dois sistemas de unidades (MLT e FLT) e discutir a vantagem de usar números adimensionais na análise de fenómenos de transporte.

Passo 2

Análise no sistema MLT (massa–comprimento–tempo):
Atribuímos as dimensões:
[\rho] = M\,L^{-3}, \quad [v] = L\,T^{-1}, \quad [D] = L, \quad [\mu] = M\,L^{-1}\,T^{-1}.
Então o numerador fica
[\rho\,v\,D] = (M\,L^{-3})(L\,T^{-1})(L) = M\,L^{-1}\,T^{-1},
e dividindo por [\mu] obtemos
\frac{M\,L^{-1}\,T^{-1}}{M\,L^{-1}\,T^{-1}} = 1,
ou seja, \mathrm{Re} não tem dimensão em MLT.

Passo 3

Análise no sistema FLT (força–comprimento–tempo), usando F = M\,L\,T^{-2} para eliminar M:
M = \frac{F\,T^{2}}{L}.
Logo
[\rho] = M\,L^{-3} = \frac{F\,T^{2}}{L}\,L^{-3} = F\,T^{2}\,L^{-4},
[v] = L\,T^{-1}, \quad [D] = L,
[\mu] = M\,L^{-1}\,T^{-1} = \frac{F\,T^{2}}{L}\,L^{-1}\,T^{-1} = F\,T\,L^{-2}.
O numerador vale
[\rho\,v\,D] = (F\,T^{2}\,L^{-4})(L\,T^{-1})(L) = F\,T\,L^{-2},
e ao dividir por [\mu]=F\,T\,L^{-2} obtemos de novo 1, mostrando que \mathrm{Re} é adimensional também em FLT.

Passo 4

Vantagem de usar números adimensionais: ao agrupar variáveis físicas em combinações sem dimensão, reduz-se o número de parâmetros no problema (teorema de Buckingham), permitindo comparar situações diferentes por meio do mesmo número (por exemplo, escala de modelos em túnel de vento) e identificar regimes de escoamento ou transporte dominados pelas mesmas forças relativas.

Resposta

(a) Em MLT, \mathrm{Re} é adimensional.
(b) Em FLT, \mathrm{Re} é adimensional.
(c) Números adimensionais reduzem o número de variáveis independentes, permitem similitude entre diferentes sistemas e facilitam a análise geral de fenómenos de transporte.

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