Um engenheiro de computação coletou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor web para 35 requisições aleatórias durante um pico de tráfego. Segue abaixo os dados ordenados sāo:
,
.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as séguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio. 35
b) Calcule as medidas de posiçāo.
c)
das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d)
das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e a partir do valor encontrado classifique quanto a assimetria.
b) Calcule as medidas de posiçāo.
d)
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e a partir do valor encontrado classifique quanto a assimetria.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei os 35 tempos na lista fornecida):
- Dados (ordenados):
. Total . - Perguntas:
a) Construir tabela de frequência com classes, contendo frequência absoluta simples, frequência relativa , frequência acumulada absoluta , frequência acumulada relativa e ponto médio .
b) Calcular medidas de posição (média, mediana, moda já indicada como, quartis etc.).
c) Determinar o valor tal quedas requisições têm tempo esse valor (isto é, o percentil ).
d) Determinar o valor tal quedas requisições têm tempo esse valor (equivalente ao percentil ).
e) Calcular medidas de dispersão (intervalo, variância, desvio padrão, IQR, coeficiente de variação).
f) Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.
Observações úteis extraídas dos dados:
- Mínimo:
. Máximo: . Amplitude (range): . - Número de observações:
.
Passo 2
Como escolher as classes (explicação didática):
- Uma regra simples para número de classes é a regra de Sturges:
. Para , então escolhemos classes (número pequeno e prático). - Largura da classe teórica:
. Para trabalhar com números inteiros, escolhemos uma largura de classe conveniente . - Como os dados são inteiros, é prático definir classes onde cada valor inteiro cabe sem ambiguidade. Vou usar classes inteiras consecutivas com passo 6 cobrindo todo o intervalo:
- Classe 1:
a - Classe 2:
a - Classe 3:
a - Classe 4:
a - Classe 5:
a - Classe 6:
a
- Classe 1:
Explicação breve: como os dados são contagens inteiras, estas classes não deixam lacunas (cada inteiro pertence a exatamente uma classe) e cobrem do mínimo ao máximo.
Passo 3
Contagem das frequências por classe e cálculo dos pontos médios (explicando como contar):
- Contando diretamente nos dados (peguei os valores da lista fornecida):
Classe 1:
a
. Valores presentes:
.
Logo . Ponto médio
.
Logo
Classe 2:
a
. Valores presentes:
.
Logo . Ponto médio
.
Logo
Classe 3:
a
. Valores presentes:
.
Logo . Ponto médio
.
Logo
Classe 4:
a
. Valores presentes:
.
Logo . Ponto médio
.
Logo
Classe 5:
a
. Valores presentes:
.
Logo . Ponto médio
.
Logo
Classe 6:
a
. Valores presentes:
.
Logo . Ponto médio
.
Logo
Verificação:
.
Cálculo das frequências relativas
e acumuladas
,
(mostro valores aproximados com 4 casas decimais):
-
. . . -
. . . -
. . . -
. . . -
. . . -
. . .
(Tabela resumida já calculada acima — cada valor foi contado direto da lista.)
Passo 4
Medidas de posição: média aritmética e explicação da fórmula
- Definição: média amostral
. Aqui somei todos os 35 tempos: portanto Interpretação: valor médio das requisições é aproximadamente ms.
Mediana (explicação didática):
- Para
ímpar, a mediana é a observação de ordem . Aqui , então a mediana é a ª observação. - Da lista ordenada, a
ª observação é . Logo mediana .
Moda:
- O enunciado já indicou
(valor mais frequente; aqui aparece 4 vezes).
Quartis (explicação do cálculo por posições):
- Primeiro quartil
posição → é a 9ª observação . - Terceiro quartil
posição → é a 27ª observação .
Resumo de medidas de posição obtidas:
-
. -
. -
. -
, .
Passo 5
Percentis pedidos (explicação do método de posição e interpolação quando necessário)
c) Valor tal que
das requisições têm tempo
esse valor (percentil
):
- Método: posição
. Isso indica interpolação entre a ª e a ª observações. - Na lista,
e . Interpolando: Portanto aproximadamente ms. (Arredondando, ms.)
d) Valor tal que
das requisições têm tempo
esse valor:
- “25% têm tempo
t” significa que têm tempo t — ou seja, t é o percentil . - Posição para o percentil
: . É inteiro, então . - Observação
(27ª) é . Logo o valor pedido é ms.
Passo 6
Medidas de dispersão (explicação das fórmulas e cálculos passo a passo)
- Amplitude (range):
- Intervalo interquartil (IQR):
- Variância amostral e desvio padrão amostral (explicação):
- Fórmula (amostral, usada para estimar variabilidade da população):
- Calculei
e . Substituindo: - Desvio padrão amostral:
(Se alguém preferir a variância populacional dividiria por
em vez de
; aqui usei a formatação amostral mais comum.)
- Coeficiente de variação (CV):
Resumo das medidas de dispersão:
- Range
. -
. - Variância amostral
. - Desvio padrão amostral
. - Coeficiente de variação
.
Passo 7
Coeficiente de assimetria de Pearson (fórmula, cálculo e interpretação)
- Fórmula de Pearson (assimetria baseada em média e mediana):
- Substituindo
, , : - Interpretação: o valor é positivo (
), o que indica assimetria à direita (cauda à direita). Classificação por regra de bolso: - |assimetria| < 0{,}5: aproximadamente simétrica,
- 0{,}5 ≤ |assimetria| < 1: assimetria moderada,
- |assimetria| ≥ 1: assimetria acentuada.
Então aqui há uma assimetria positiva moderada (direita).
Resposta
a) Tabela de frequência (classes,
,
,
,
,
):
-
: , , , , . -
: , , , , . -
: , , , , . -
: , , , , . -
: , , , , . -
: , , , , .
b) Medidas de posição:
-
. -
. -
. -
, .
c)
das requisições têm tempo de resposta
aproximadamente
ms.
d)
das requisições têm tempo de resposta
ms.
e) Medidas de dispersão:
- Range
. -
. - Variância amostral
. - Desvio padrão amostral
. - Coeficiente de variação
.
f) Coeficiente de assimetria de Pearson:
-
(positivo). - Classificação: assimetria à direita (positiva), de magnitude moderada.