Um engenheiro de computação coletou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor web para 35 requisições aleatórias durante um pico de tráfego. Segue abaixo os dados ordenados sāo:
25,27,28,29,30,30,30,30,31,31,32,33,34,35,35,36,36,37,38,40,40,41, 42,43,44,45,46,48,49,50,51,52,53,55,58.
35+1=18^{\circ}
a) Construa a tabela de frequência com classes com as séguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio. 35
b) Calcule as medidas de posiçāo.
1 \mathrm{Moda}=30
c) 68 \% das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d) 25 \% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e a partir do valor encontrado classifique quanto a assimetria.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei os 35 tempos na lista fornecida):
  • Dados (ordenados): 25,27,28,29,30,30,30,30,31,31,32,33,34,35,35,36,36,37,38,40,40,41,42,43,44,45,46,48,49,50,51,52,53,55,58. Total n=35.
  • Perguntas:
    a) Construir tabela de frequência com classes, contendo frequência absoluta simples f, frequência relativa f_r, frequência acumulada absoluta F, frequência acumulada relativa F_r e ponto médio x_m.
    b) Calcular medidas de posição (média, mediana, moda já indicada como \mathrm{Moda}=30, quartis etc.).
    c) Determinar o valor tal que 68\% das requisições têm tempo \le esse valor (isto é, o percentil 68).
    d) Determinar o valor tal que 25\% das requisições têm tempo \ge esse valor (equivalente ao percentil 75).
    e) Calcular medidas de dispersão (intervalo, variância, desvio padrão, IQR, coeficiente de variação).
    f) Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.
Observações úteis extraídas dos dados:
  • Mínimo: 25. Máximo: 58. Amplitude (range): 58-25=33.
  • Número de observações: n=35.

Passo 2

Como escolher as classes (explicação didática):
  • Uma regra simples para número de classes é a regra de Sturges: k \approx 1+3{,}322\log_{10}n. Para n=35, k \approx 1+3{,}322\log_{10}(35)\approx 6{,}13,então escolhemos k=6 classes (número pequeno e prático).
  • Largura da classe teórica: h=\dfrac{\text{amplitude}}{k}=\dfrac{33}{6}=5{,}5. Para trabalhar com números inteiros, escolhemos uma largura de classe conveniente h=6.
  • Como os dados são inteiros, é prático definir classes onde cada valor inteiro cabe sem ambiguidade. Vou usar classes inteiras consecutivas com passo 6 cobrindo todo o intervalo:
    • Classe 1: 25 a 30
    • Classe 2: 31 a 36
    • Classe 3: 37 a 42
    • Classe 4: 43 a 48
    • Classe 5: 49 a 54
    • Classe 6: 55 a 60
Explicação breve: como os dados são contagens inteiras, estas classes não deixam lacunas (cada inteiro pertence a exatamente uma classe) e cobrem do mínimo ao máximo.

Passo 3

Contagem das frequências por classe e cálculo dos pontos médios (explicando como contar):
  • Contando diretamente nos dados (peguei os valores da lista fornecida):
Classe 1: 25 a 30. Valores presentes: 25,27,28,29,30,30,30,30.
Logo f_1=8. Ponto médio x_{m1}=(25+30)/2=27,5.
Classe 2: 31 a 36. Valores presentes: 31,31,32,33,34,35,35,36,36.
Logo f_2=9. Ponto médio x_{m2}=(31+36)/2=33,5.
Classe 3: 37 a 42. Valores presentes: 37,38,40,40,41,42.
Logo f_3=6. Ponto médio x_{m3}=(37+42)/2=39,5.
Classe 4: 43 a 48. Valores presentes: 43,44,45,46,48.
Logo f_4=5. Ponto médio x_{m4}=(43+48)/2=45,5.
Classe 5: 49 a 54. Valores presentes: 49,50,51,52,53.
Logo f_5=5. Ponto médio x_{m5}=(49+54)/2=51,5.
Classe 6: 55 a 60. Valores presentes: 55,58.
Logo f_6=2. Ponto médio x_{m6}=(55+60)/2=57,5.
Verificação: 8+9+6+5+5+2=35=n.
Cálculo das frequências relativas f_r=f/n e acumuladas F, F_r (mostro valores aproximados com 4 casas decimais):
  • f_{r1}=\dfrac{8}{35}\approx0{,}2286. F_1=8. F_{r1}\approx0{,}2286.
  • f_{r2}=\dfrac{9}{35}\approx0{,}2571. F_2=8+9=17. F_{r2}\approx0{,}4857.
  • f_{r3}=\dfrac{6}{35}\approx0{,}1714. F_3=23. F_{r3}\approx0{,}6571.
  • f_{r4}=\dfrac{5}{35}\approx0{,}1429. F_4=28. F_{r4}\approx0{,}8000.
  • f_{r5}=\dfrac{5}{35}\approx0{,}1429. F_5=33. F_{r5}\approx0{,}9429.
  • f_{r6}=\dfrac{2}{35}\approx0{,}0571. F_6=35. F_{r6}=1{,}0000.
(Tabela resumida já calculada acima — cada valor foi contado direto da lista.)

Passo 4

Medidas de posição: média aritmética e explicação da fórmula
  • Definição: média amostral \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Aqui somei todos os 35 tempos: \sum_{i=1}^{35} x_i =1364,portanto \bar{x}=\dfrac{1364}{35}\approx 38{,}97.Interpretação: valor médio das 35 requisições é aproximadamente 38{,}97 ms.
Mediana (explicação didática):
  • Para n ímpar, a mediana é a observação de ordem \dfrac{n+1}{2}. Aqui \dfrac{35+1}{2}=18, então a mediana é a 18ª observação.
  • Da lista ordenada, a 18ª observação é 37. Logo mediana =37.
Moda:
  • O enunciado já indicou \mathrm{Moda}=30 (valor mais frequente; aqui aparece 4 vezes).
Quartis (explicação do cálculo por posições):
  • Primeiro quartil Q_1 posição \dfrac{n+1}{4}=\dfrac{36}{4}=9 Q_1 é a 9ª observação =31.
  • Terceiro quartil Q_3 posição \dfrac{3(n+1)}{4}=\dfrac{3\cdot36}{4}=27 Q_3 é a 27ª observação =46.
Resumo de medidas de posição obtidas:
  • \bar{x}\approx 38{,}97.
  • \mathrm{Mediana}=37.
  • \mathrm{Moda}=30.
  • Q_1=31, Q_3=46.

Passo 5

Percentis pedidos (explicação do método de posição e interpolação quando necessário)
c) Valor tal que 68\% das requisições têm tempo \le esse valor (percentil 68):
  • Método: posição P=0{,}68\,(n+1)=0{,}68\cdot36=24{,}48. Isso indica interpolação entre a 24ª e a 25ª observações.
  • Na lista, x_{24}=43 e x_{25}=44. Interpolando: P_{68}=x_{24}+(0{,}48)\,(x_{25}-x_{24})=43+0{,}48(1)=43{,}48.Portanto aproximadamente 43{,}48 ms. (Arredondando, 43{,}5 ms.)
d) Valor tal que 25\% das requisições têm tempo \ge esse valor:
  • “25% têm tempo \ge t” significa que 75\% têm tempo \le t — ou seja, t é o percentil 75.
  • Posição para o percentil 75: P=0{,}75\,(n+1)=0{,}75\cdot36=27. É inteiro, então P_{75}=x_{27}.
  • Observação x_{27} (27ª) é 46. Logo o valor pedido é 46 ms.

Passo 6

Medidas de dispersão (explicação das fórmulas e cálculos passo a passo)
  1. Amplitude (range):
\text{Range} = x_{\max}-x_{\min}=58-25=33.
  1. Intervalo interquartil (IQR):
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=46-31=15.
  1. Variância amostral e desvio padrão amostral (explicação):
  • Fórmula (amostral, usada para estimar variabilidade da população): s^2=\dfrac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2 - \dfrac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}\Biggr).
  • Calculei \sum x_i=1364 e \sum x_i^2=55904. Substituindo: s^2=\dfrac{1}{34}\Bigl(55904-\dfrac{1364^2}{35}\Bigr) =\dfrac{1}{34}\Bigl(55904-53157{,}028571\ldots\Bigr)\approx 80{,}7862.
  • Desvio padrão amostral: s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{80{,}7862}\approx 8{,}99.
(Se alguém preferir a variância populacional dividiria por n em vez de n-1; aqui usei a formatação amostral mais comum.)
  1. Coeficiente de variação (CV):
\mathrm{CV}=\dfrac{s}{\bar{x}}\times100\%\approx \dfrac{8{,}988}{38{,}971}\times100\%\approx 23{,}07\%.
Resumo das medidas de dispersão:
  • Range =33.
  • \mathrm{IQR}=15.
  • Variância amostral s^2\approx 80{,}79.
  • Desvio padrão amostral s\approx 8{,}99.
  • Coeficiente de variação \approx 23{,}07\%.

Passo 7

Coeficiente de assimetria de Pearson (fórmula, cálculo e interpretação)
  • Fórmula de Pearson (assimetria baseada em média e mediana): \text{Assimetria}_{\text{Pearson}} = \dfrac{3(\bar{x}-\text{Mediana})}{s}.
  • Substituindo \bar{x}\approx 38{,}9714, \text{Mediana}=37, s\approx 8{,}988: \text{Assimetria}\approx \dfrac{3(38{,}9714-37)}{8{,}988}\approx \dfrac{3\cdot1{,}9714}{8{,}988}\approx 0{,}658.
  • Interpretação: o valor é positivo ( \approx0{,}66), o que indica assimetria à direita (cauda à direita). Classificação por regra de bolso:
    • |assimetria| < 0{,}5: aproximadamente simétrica,
    • 0{,}5 ≤ |assimetria| < 1: assimetria moderada,
    • |assimetria| ≥ 1: assimetria acentuada.
      Então aqui há uma assimetria positiva moderada (direita).

Resposta

a) Tabela de frequência (classes, f, f_r, F, F_r, x_m):
  • [25,30]: f=8, f_r=\dfrac{8}{35}\approx0{,}2286, F=8, F_r\approx0{,}2286, x_m=27{,}5.
  • [31,36]: f=9, f_r=\dfrac{9}{35}\approx0{,}2571, F=17, F_r\approx0{,}4857, x_m=33{,}5.
  • [37,42]: f=6, f_r=\dfrac{6}{35}\approx0{,}1714, F=23, F_r\approx0{,}6571, x_m=39{,}5.
  • [43,48]: f=5, f_r=\dfrac{5}{35}\approx0{,}1429, F=28, F_r\approx0{,}8000, x_m=45{,}5.
  • [49,54]: f=5, f_r=\dfrac{5}{35}\approx0{,}1429, F=33, F_r\approx0{,}9429, x_m=51{,}5.
  • [55,60]: f=2, f_r=\dfrac{2}{35}\approx0{,}0571, F=35, F_r=1{,}0000, x_m=57{,}5.
b) Medidas de posição:
  • \bar{x}=\dfrac{1364}{35}\approx 38{,}97.
  • \mathrm{Mediana}=37.
  • \mathrm{Moda}=30.
  • Q_1=31, Q_3=46.
c) 68\% das requisições têm tempo de resposta \le aproximadamente 43{,}48 ms.
d) 25\% das requisições têm tempo de resposta \ge 46 ms.
e) Medidas de dispersão:
  • Range =33.
  • \mathrm{IQR}=15.
  • Variância amostral s^2\approx 80{,}79.
  • Desvio padrão amostral s\approx 8{,}99.
  • Coeficiente de variação \approx 23{,}07\%.
f) Coeficiente de assimetria de Pearson:
  • \text{Assimetria}\approx 0{,}66 (positivo).
  • Classificação: assimetria à direita (positiva), de magnitude moderada.

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