QUEST. 4) A densidade volumétrica de cargas no formato de um cilindro de raio \mathrm{R}_{0} é descrita, no sistema de coordenadas cilíndricas, pela equação (2). (\mathbf{2 , 5})
\rho_{\mathrm{v}}=\left\{\begin{array}{cl}\rho_{0} & \text { para } 0 \leq \rho \leq \frac{\mathrm{R}_{0}}{2} \\\\ -\rho_{0} & \text { para } \frac{\mathrm{R}_{0}}{2} \leq \rho \leq \mathrm{R}_{0}\end{array}\right.
a) Determine o campo elétrico na região do espaço definida por \rho>R_{0} .(1,25)
b) Uma carga pontual negativa q_{0}, localizada em um ponto tal que \rho>\mathrm{R}_{0}, será atraída, repelida ou não será afetada pela distribuição de cargas? Justifique. (1,25)

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de carga volumétrica, em coordenadas cilíndricas, dentro de um cilindro de raio \mathrm{R}_{0}, dada por
\rho_{\mathrm{v}}(\rho)=\left\{\begin{array}{cl} \rho_{0} & \text{para } 0 \le \rho \le \dfrac{\mathrm{R}_{0}}{2},\\[6pt] -\rho_{0} & \text{para } \dfrac{\mathrm{R}_{0}}{2} \le \rho \le \mathrm{R}_{0}. \end{array}\right.
As perguntas são:
a) Determinar o campo elétrico na região do espaço definida por \rho>\mathrm{R}_{0}.
b) Uma carga pontual negativa q_{0}, localizada em um ponto tal que \rho>\mathrm{R}_{0}, será atraída, repelida ou não será afetada pela distribuição de cargas? Justifique.]

Passo 2

Observando a distribuição: ela depende apenas da coordenada radial \rho e é independente de \varphi e z. Portanto há simetria cilíndrica: o campo elétrico no exterior só pode depender de \rho e deve apontar na direção radial (unidade \hat{\boldsymbol{\rho}}). Para explorar essa simetria escolhemos uma superfície gaussiana que respeite a simetria: um cilindro coaxial de raio \rho (com \rho>\mathrm{R}_{0}) e comprimento L. Usaremos a Lei de Gauss na forma
\oint_{\text{Gauss}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume do cilindro gaussiano.

Passo 3

Vamos calcular a carga total por unidade de comprimento (densidade linear) contida no cilindro físico de raio \mathrm{R}_{0}. Para isso uso r como variável radial de integração (para não confundir com o ponto de campo \rho). O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV=r\,dr\,d\varphi\,dz.
A carga total contida numa altura L é
Q_{\text{int}}=\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\mathrm{R}_{0}} \rho_{\mathrm{v}}(r)\; r\,dr\,d\varphi\,dz.
Como a densidade depende só de r e os limites angulares e em z são triviais, podemos definir a densidade linear \lambda (carga por unidade de comprimento) como
\lambda=\frac{Q_{\text{int}}}{L}= \int_{0}^{2\pi}\!d\varphi \int_{0}^{\mathrm{R}_{0}} \rho_{\mathrm{v}}(r)\, r\,dr = 2\pi \int_{0}^{\mathrm{R}_{0}} \rho_{\mathrm{v}}(r)\, r\,dr.
Substituindo a função \rho_{\mathrm{v}}(r) por partes:
\lambda = 2\pi\!\left(\int_{0}^{\mathrm{R}_{0}/2} \rho_{0}\, r\,dr + \int_{\mathrm{R}_{0}/2}^{\mathrm{R}_{0}} (-\rho_{0})\, r\,dr\right).
Agora integremos cada termo. Lembrando que \int r\,dr = \dfrac{r^{2}}{2}:
\int_{0}^{\mathrm{R}_{0}/2} \rho_{0}\, r\,dr = \rho_{0}\cdot \frac{(\mathrm{R}_{0}/2)^{2}}{2} = \rho_{0}\cdot \frac{\mathrm{R}_{0}^{2}}{8},
\int_{\mathrm{R}_{0}/2}^{\mathrm{R}_{0}} (-\rho_{0})\, r\,dr = -\rho_{0}\cdot\left(\frac{\mathrm{R}_{0}^{2}}{2}-\frac{(\mathrm{R}_{0}/2)^{2}}{2}\right) = -\rho_{0}\cdot\frac{3\mathrm{R}_{0}^{2}}{8}.
Somando:
\lambda = 2\pi\left(\rho_{0}\frac{\mathrm{R}_{0}^{2}}{8} - \rho_{0}\frac{3\mathrm{R}_{0}^{2}}{8}\right) = 2\pi\left(-\rho_{0}\frac{2\mathrm{R}_{0}^{2}}{8}\right) = 2\pi\left(-\rho_{0}\frac{\mathrm{R}_{0}^{2}}{4}\right).
Portanto
\lambda = -\frac{\pi \rho_{0} \mathrm{R}_{0}^{2}}{2}.
Observação física: \lambda<0, ou seja, a carga total por unidade de comprimento do cilindro é negativa.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss ao cilindro gaussiano de raio \rho>\mathrm{R}_{0} e comprimento L: o fluxo atravessa somente a superfície lateral (as tampas contribuem nulo pois \mathbf{E} é radial). O fluxo é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(\rho)\, (2\pi \rho L).
A Lei de Gauss dá
E(\rho)\, (2\pi \rho L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando L e isolando E(\rho),
E(\rho) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}\,\rho}.
Substituindo o valor de \lambda:
E(\rho) = \frac{-\dfrac{\pi \rho_{0} \mathrm{R}_{0}^{2}}{2}}{2\pi \varepsilon_{0}\,\rho} = -\frac{\rho_{0}\,\mathrm{R}_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}\,\rho}.
Como campo é vetorial e radial:
\mathbf{E}(\rho) = -\frac{\rho_{0}\,\mathrm{R}_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}\,\rho}\;\hat{\boldsymbol{\rho}},\qquad \text{para } \rho>\mathrm{R}_{0}.
Interpretação do sinal: o sinal negativo diante de \hat{\boldsymbol{\rho}} indica que o campo aponta no sentido -\hat{\boldsymbol{\rho}}, ou seja, para dentro (direção do eixo do cilindro).

Passo 5

Resumo físico do resultado do item (a): a distribuição composta (camada interna positiva, anel externo negativo) resulta em uma carga total negativa por unidade de comprimento; por isso no exterior o campo é igual ao de um fio linear com carga \lambda dada acima. O campo decai como 1/\rho e aponta radialmente para dentro.

Passo 6

Agora o item (b). Uma carga pontual q_{0} localizada em \rho>\mathrm{R}_{0} sente a força elétrica
\mathbf{F} = q_{0}\,\mathbf{E}(\rho).
Se q_{0}<0 (carga pontual negativa), usando \mathbf{E}(\rho) = -A\,\hat{\boldsymbol{\rho}} com A=\dfrac{\rho_{0}\mathrm{R}_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}\rho}>0, obtemos
\mathbf{F} = q_{0}(-A\hat{\boldsymbol{\rho}}) = (-|q_{0}|)(-A\hat{\boldsymbol{\rho}}) = |q_{0}| A \,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Ou seja, a força aponta no sentido +\hat{\boldsymbol{\rho}} (para fora, afastando do eixo). Portanto a carga pontual negativa é repelida pela distribuição (como era de se esperar: cargas de mesmo sinal se repelem). A magnitude da força é
F(\rho)=|q_{0}|\;\frac{\rho_{0}\mathrm{R}_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}\,\rho}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(\rho)=-\frac{\rho_{0}\,\mathrm{R}_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}\,\rho}\;\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{para }\rho>\mathrm{R}_{0}.
(b) Repelida.

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