QUEST. 4) A densidade volumétrica de cargas no formato de um cilindro de raio \mathrm{R}_{0} é descrita, no sistema de coordenadas cilíndricas, pela equação (2). (\mathbf{2 , 5}) \rho_{\mathrm{v}}=\left\{\begin{array}{cl}\rho_{0} & \text { para } 0 \leq \rho \leq \frac{\mathrm{R}_{0}}{2} \\\\ -\rho_{0} & \text { para } \frac{\mathrm{R}_{0}}{2} \leq \rho \leq \mathrm{R}_{0}\end{array}\right.
a) Determine o campo elétrico na região do espaço definida por \rho>R_{0} .(1,25)
b) Uma carga pontual negativa q_{0}, localizada em um ponto tal que \rho>\mathrm{R}_{0}, será atraída, repelida ou não será afetada pela distribuição de cargas? Justifique. (1,25)
Passo 1
O enunciado fornece uma distribuição de carga volumétrica, em coordenadas cilíndricas, dentro de um cilindro de raio \mathrm{R}_{0}, dada por
As perguntas são:
a) Determinar o campo elétrico na região do espaço definida por \rho>\mathrm{R}_{0}.
b) Uma carga pontual negativa q_{0}, localizada em um ponto tal que \rho>\mathrm{R}_{0}, será atraída, repelida ou não será afetada pela distribuição de cargas? Justifique.]
Passo 2
Observando a distribuição: ela depende apenas da coordenada radial \rho e é independente de \varphi e z. Portanto há simetria cilíndrica: o campo elétrico no exterior só pode depender de \rho e deve apontar na direção radial (unidade \hat{\boldsymbol{\rho}}). Para explorar essa simetria escolhemos uma superfície gaussiana que respeite a simetria: um cilindro coaxial de raio \rho (com \rho>\mathrm{R}_{0}) e comprimento L. Usaremos a Lei de Gauss na forma
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume do cilindro gaussiano.
Passo 3
Vamos calcular a carga total por unidade de comprimento (densidade linear) contida no cilindro físico de raio \mathrm{R}_{0}. Para isso uso r como variável radial de integração (para não confundir com o ponto de campo \rho). O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Como a densidade depende só de r e os limites angulares e em z são triviais, podemos definir a densidade linear \lambda (carga por unidade de comprimento) como
Observação física: \lambda<0, ou seja, a carga total por unidade de comprimento do cilindro é negativa.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss ao cilindro gaussiano de raio \rho>\mathrm{R}_{0} e comprimento L: o fluxo atravessa somente a superfície lateral (as tampas contribuem nulo pois \mathbf{E} é radial). O fluxo é
Interpretação do sinal: o sinal negativo diante de \hat{\boldsymbol{\rho}} indica que o campo aponta no sentido -\hat{\boldsymbol{\rho}}, ou seja, para dentro (direção do eixo do cilindro).
Passo 5
Resumo físico do resultado do item (a): a distribuição composta (camada interna positiva, anel externo negativo) resulta em uma carga total negativa por unidade de comprimento; por isso no exterior o campo é igual ao de um fio linear com carga \lambda dada acima. O campo decai como 1/\rho e aponta radialmente para dentro.
Passo 6
Agora o item (b). Uma carga pontual q_{0} localizada em \rho>\mathrm{R}_{0} sente a força elétrica
\mathbf{F} = q_{0}\,\mathbf{E}(\rho).
Se q_{0}<0 (carga pontual negativa), usando \mathbf{E}(\rho) = -A\,\hat{\boldsymbol{\rho}} com A=\dfrac{\rho_{0}\mathrm{R}_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}\rho}>0, obtemos
\mathbf{F} = q_{0}(-A\hat{\boldsymbol{\rho}}) = (-|q_{0}|)(-A\hat{\boldsymbol{\rho}}) = |q_{0}| A \,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Ou seja, a força aponta no sentido +\hat{\boldsymbol{\rho}} (para fora, afastando do eixo). Portanto a carga pontual negativa é repelida pela distribuição (como era de se esperar: cargas de mesmo sinal se repelem). A magnitude da força é