- 2.3: Uma partícula de massa
se move em uma dimensão sob a influência de uma força
que é constante no tempo. Mostre que a energia cinética da partícula é dada por
, onde
e
são o momento e a energia em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a energia cinética de uma partícula que se move numa dimensão sob uma força constante é
onde as informações dadas são:
- a massa da partícula é
(constante), - a força aplicada é
(constante no tempo), -
é o momento linear da partícula em , -
é a energia cinética em .
Nada mais foi pedido além de mostrar a fórmula acima. Não vou resolver nada ainda aqui — apenas deixei claro o que é dado e o que precisa ser mostrado.
Passo 2
Entender o que a física nos dá de forma direta: a relação entre força e variação do momento. A Lei de Newton (forma para momento) diz que a força total é a taxa de variação do momento linear:
onde
é o momento linear instantâneo e
é a derivada temporal do momento. Aqui
é constante segundo o enunciado, e
é a incógnita que queremos encontrar primeiro. Vou explicar por que isso é verdade: o momento é definido como
(com
a velocidade), e Newton diz que forças mudam velocidade — portanto mudam momento. Essa forma
é equivalente à conhecida
quando
é constante, porque
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial simples
com
constante. Integramos ambos os lados em relação ao tempo desde
até tempo genérico
:
No lado esquerdo a integral de
é simplesmente
, porque
. No direito, como
é constante, a integral é
. Assim obtemos:
Isolando
,
Explicando em palavras: com força constante, o momento cresce linearmente com o tempo, partindo de
.
Passo 4
Lembrar a definição da energia cinética no regime não relativístico (caso típico em exercícios de mecânica clássica): a energia cinética é
Como o momento linear é
, podemos reescrever a energia em termos do momento:
Aqui cada símbolo significa:
é energia cinética,
é o momento linear instantâneo,
é a massa. Essa forma é útil porque já temos
da etapa anterior.
Passo 5
Substituir a expressão de
encontrada no Passo 3 dentro da fórmula da energia do Passo 4. Temos
Agora vou desenvolver esse quadrado passo a passo, para ficar muito claro como aparece cada termo:
Logo,
Passo 6
Separar os termos para obter a forma pedida:
Agora reconhecer que o terceiro termo é exatamente a energia inicial
, pois em
temos
. Portanto podemos escrever
que é exatamente a expressão que o enunciado pedia para mostrar.
Passo 7
Comentário didático curto e alternativa: outra forma de chegar ao mesmo resultado é usar potência e trabalho. A potência instantânea é
. Como
, temos
. Substituindo
e integrando em
também leva à mesma expressão polinomial em
. É bom conhecer as duas vias (momentum direto ou potência) porque às vezes uma é mais prática que a outra — aqui a via do momento é a mais direta.