• 2.3: Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob a influência de uma força F que é constante no tempo. Mostre que a energia cinética da partícula é dada por \mathrm{E}= \left(\mathrm{F}^{2} / 2 \mathrm{~m}\right) * \mathrm{t}^{2}+\left(\mathrm{Fp}_{0} / \mathrm{m}\right) * \mathrm{t}+\mathrm{E}_{0}, onde p_{0} e E_{0} são o momento e a energia em t=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a energia cinética de uma partícula que se move numa dimensão sob uma força constante é
E(t)=\frac{F^{2}}{2m}\,t^{2}+\frac{F p_{0}}{m}\,t+E_{0},
onde as informações dadas são:
  • a massa da partícula é m (constante),
  • a força aplicada é F (constante no tempo),
  • p_{0} é o momento linear da partícula em t=0,
  • E_{0} é a energia cinética em t=0.
    Nada mais foi pedido além de mostrar a fórmula acima. Não vou resolver nada ainda aqui — apenas deixei claro o que é dado e o que precisa ser mostrado.

Passo 2

Entender o que a física nos dá de forma direta: a relação entre força e variação do momento. A Lei de Newton (forma para momento) diz que a força total é a taxa de variação do momento linear:
F=\frac{dp}{dt},
onde \,p(t)\, é o momento linear instantâneo e \,dp/dt\, é a derivada temporal do momento. Aqui F é constante segundo o enunciado, e p(t) é a incógnita que queremos encontrar primeiro. Vou explicar por que isso é verdade: o momento é definido como \,p=m v\, (com v(t) a velocidade), e Newton diz que forças mudam velocidade — portanto mudam momento. Essa forma \,F=dp/dt\, é equivalente à conhecida F=m a quando m é constante, porque dp/dt = d(mv)/dt = m\,dv/dt = m a.

Passo 3

Resolver a equação diferencial simples \,dp/dt=F\, com F constante. Integramos ambos os lados em relação ao tempo desde t=0 até tempo genérico t:
\int_{0}^{t}\frac{dp}{dt'}\,dt'=\int_{0}^{t}F\,dt'.
No lado esquerdo a integral de \,dp/dt'\,dt'\, é simplesmente \,p(t)-p_0\,, porque p_0=p(0). No direito, como F é constante, a integral é F t. Assim obtemos:
p(t)-p_{0}=F t.
Isolando p(t),
p(t)=p_{0}+F t.
Explicando em palavras: com força constante, o momento cresce linearmente com o tempo, partindo de p_0.

Passo 4

Lembrar a definição da energia cinética no regime não relativístico (caso típico em exercícios de mecânica clássica): a energia cinética é
E=\frac{1}{2}m v^{2}.
Como o momento linear é \,p=m v\,, podemos reescrever a energia em termos do momento:
E=\frac{p^{2}}{2m}.
Aqui cada símbolo significa: E é energia cinética, p é o momento linear instantâneo, m é a massa. Essa forma é útil porque já temos p(t) da etapa anterior.

Passo 5

Substituir a expressão de p(t) encontrada no Passo 3 dentro da fórmula da energia do Passo 4. Temos
E(t)=\frac{\bigl(p_{0}+F t\bigr)^{2}}{2m}.
Agora vou desenvolver esse quadrado passo a passo, para ficar muito claro como aparece cada termo:
\bigl(p_{0}+F t\bigr)^{2}=p_{0}^{2}+2p_{0}F t+F^{2}t^{2}.
Logo,
E(t)=\frac{p_{0}^{2}+2p_{0}F t+F^{2}t^{2}}{2m}.

Passo 6

Separar os termos para obter a forma pedida:
E(t)=\frac{F^{2}}{2m}\,t^{2}+\frac{F p_{0}}{m}\,t+\frac{p_{0}^{2}}{2m}.
Agora reconhecer que o terceiro termo é exatamente a energia inicial E_{0}, pois em t=0 temos E(0)=\dfrac{p_{0}^{2}}{2m}=E_{0}. Portanto podemos escrever
E(t)=\frac{F^{2}}{2m}\,t^{2}+\frac{F p_{0}}{m}\,t+E_{0},
que é exatamente a expressão que o enunciado pedia para mostrar.

Passo 7

Comentário didático curto e alternativa: outra forma de chegar ao mesmo resultado é usar potência e trabalho. A potência instantânea é P=F v. Como v=p/m, temos dE/dt=F p/m. Substituindo p(t)=p_{0}+F t e integrando em t também leva à mesma expressão polinomial em t. É bom conhecer as duas vias (momentum direto ou potência) porque às vezes uma é mais prática que a outra — aqui a via do momento é a mais direta.

Resposta

E(t)=\frac{F^{2}}{2m}\,t^{2}+\frac{F p_{0}}{m}\,t+E_{0}

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