1. Um grão de poeira está imerso em uma camada de gelo a uma distância de \mathbf{3 , 5 0 ~ c m} abaixo da superfície do gelo ( n=1,309 ). Qual é a profundidade aparente do grão quando observado normalmente de cima para baixo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: a profundidade real do grão abaixo da superfície do gelo é \,3,50~\text{cm}.
  • Informação: o índice de refração do gelo é \,n_{\text{gelo}}=1,309.
  • Informação implícita: o observador está no ar acima da superfície; usaremos \,n_{\text{ar}}\approx1,000.
  • Pedido: qual é a profundidade aparente do grão quando observado normalmente (isto é, olhando de cima, na direção perpendicular à superfície)?

Passo 2

Vamos entender o que é “profundidade aparente” de forma simples e visual. Imagine um ponto dentro do gelo a uma profundidade real d. Raios de luz saem desse ponto em várias direções; ao atravessarem a superfície plana gelo–ar eles são refratados (mudam de direção). O olho do observador recebe esses raios refratados e, ao traçar mentalmente a origem dos raios, parece que eles vêm de um ponto S' mais raso do que o ponto real S. A distância de S' à superfície é a profundidade aparente d'. Nosso objetivo é achar d' em função de d e dos índices de refração.

Passo 3

Apresento a lei de Snell, que governa a refração numa superfície plana:
n_2\sin\theta_2 = n_1\sin\theta_1.
Aqui eu defino claramente as variáveis:
  • n_2 é o índice de refração do meio onde está o grão (aqui, gelo), então n_2=n_{\text{gelo}}=1,309.
  • n_1 é o índice do meio do observador (ar), então n_1=n_{\text{ar}}=1,000.
  • \theta_2 é o ângulo que o raio faz com a normal dentro do gelo.
  • \theta_1 é o ângulo que o raio faz com a normal no ar, depois de sair do gelo.

Passo 4

Agora faço a relação geométrica que liga d e d'. Considere um raio que sai do grão, atinge a superfície a uma distância lateral x do ponto mais alto, como na figura que você pode imaginar. Dentro do gelo:
\tan\theta_2 = \frac{x}{d}.
No ar, a reta refratada, se extrapolada para baixo, parece vir de uma imagem a profundidade d', então
\tan\theta_1 = \frac{x}{d'}.
Dividindo as duas expressões:
\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1} = \frac{d'}{d}.
Rearranjando:
d' = d\,\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1}.

Passo 5

Agora usamos a lei de Snell e a aproximação para pequenos ângulos (paraxial), que vale quando o observador está perto da normal ou quando consideramos raios próximos ao eixo: para ângulos pequenos \sin\theta\approx\tan\theta. Com isso,
\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1}\approx\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}.
Pela lei de Snell,
\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}=\frac{n_1}{n_2}.
Portanto, juntando tudo:
d' = d\,\frac{n_1}{n_2}.
Essa é a fórmula prática e muito usada: a profundidade aparente é a profundidade real multiplicada pela razão entre o índice do lado do observador e o índice do lado do objeto.
Observação sobre “observado normalmente”: quando dizemos “normalmente” aqui, estamos considerando visão quase perpendicular e a construção geométrica acima (que considera raios próximos ao eixo) é válida; por isso podemos aplicar a aproximação e obter a fórmula acima.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos. A profundidade real é d=3,50~\text{cm}, n_1=n_{\text{ar}}=1,000 e n_2=n_{\text{gelo}}=1,309. Assim
d' = 3,50\cdot\frac{1,000}{1,309}\\ \text{cm}.

Passo 7

Faço a divisão para obter o valor numérico. Primeiro calculo a razão:
\frac{1,000}{1,309}\approx 0{,} \, 7638\ldots
Multiplicando por 3{,}50:
d' \approx 3{,}50\times0{,}7638\ldots \approx 2{,}6738\ldots~\text{cm}.
Arredondando com as mesmas casas decimais apresentadas no enunciado ( 3{,}50 tem duas casas decimais), fica razoável dar d' com duas casas decimais.

Passo 8

Concluo o resultado numérico arredondado a duas casas decimais:
d'\approx 2{,}67~\text{cm}.

Resposta

2{,}67~\text{cm}

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