- Um grão de poeira está imerso em uma camada de gelo a uma distância de
abaixo da superfície do gelo (
). Qual é a profundidade aparente do grão quando observado normalmente de cima para baixo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: a profundidade real do grão abaixo da superfície do gelo é
. - Informação: o índice de refração do gelo é
. - Informação implícita: o observador está no ar acima da superfície; usaremos
. - Pedido: qual é a profundidade aparente do grão quando observado normalmente (isto é, olhando de cima, na direção perpendicular à superfície)?
Passo 2
Vamos entender o que é “profundidade aparente” de forma simples e visual. Imagine um ponto dentro do gelo a uma profundidade real
. Raios de luz saem desse ponto em várias direções; ao atravessarem a superfície plana gelo–ar eles são refratados (mudam de direção). O olho do observador recebe esses raios refratados e, ao traçar mentalmente a origem dos raios, parece que eles vêm de um ponto
mais raso do que o ponto real
. A distância de
à superfície é a profundidade aparente
. Nosso objetivo é achar
em função de
e dos índices de refração.
Passo 3
Apresento a lei de Snell, que governa a refração numa superfície plana:
Aqui eu defino claramente as variáveis:
-
é o índice de refração do meio onde está o grão (aqui, gelo), então . -
é o índice do meio do observador (ar), então . -
é o ângulo que o raio faz com a normal dentro do gelo. -
é o ângulo que o raio faz com a normal no ar, depois de sair do gelo.
Passo 4
Agora faço a relação geométrica que liga
e
. Considere um raio que sai do grão, atinge a superfície a uma distância lateral
do ponto mais alto, como na figura que você pode imaginar. Dentro do gelo:
No ar, a reta refratada, se extrapolada para baixo, parece vir de uma imagem a profundidade
, então
Dividindo as duas expressões:
Rearranjando:
Passo 5
Agora usamos a lei de Snell e a aproximação para pequenos ângulos (paraxial), que vale quando o observador está perto da normal ou quando consideramos raios próximos ao eixo: para ângulos pequenos
. Com isso,
Pela lei de Snell,
Portanto, juntando tudo:
Essa é a fórmula prática e muito usada: a profundidade aparente é a profundidade real multiplicada pela razão entre o índice do lado do observador e o índice do lado do objeto.
Observação sobre “observado normalmente”: quando dizemos “normalmente” aqui, estamos considerando visão quase perpendicular e a construção geométrica acima (que considera raios próximos ao eixo) é válida; por isso podemos aplicar a aproximação e obter a fórmula acima.
Passo 6
Substituímos os valores numéricos. A profundidade real é
,
e
. Assim
Passo 7
Faço a divisão para obter o valor numérico. Primeiro calculo a razão:
Multiplicando por
:
Arredondando com as mesmas casas decimais apresentadas no enunciado (
tem duas casas decimais), fica razoável dar
com duas casas decimais.
Passo 8
Concluo o resultado numérico arredondado a duas casas decimais: