As constantes são \rho_{0} e a. A pergunta é: encontrar a densidade volumétrica de cargas em toda a parte, ou seja, determinar \rho(r) para r<a, r>a (e verificar se há alguma contribuição localizada na casca r=a).
Passo 2
Regra fundamental que vamos usar: a equação de Poisson relaciona o potencial elétrico V com a densidade volumétrica de carga \rho:
\nabla^{2}V = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Aqui \nabla^{2} é o laplaciano, \rho é a densidade volumétrica (o que queremos achar) e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Para um potencial esfericamente simétrico (depende só de r), o laplaciano se reduz à forma radial:
Explicação rápida do que cada termo significa: \frac{dV}{dr} é a derivada radial do potencial; r^{2}\frac{dV}{dr} aparece por causa da geometria esférica; aplicar \frac{d}{dr} e dividir por r^{2} dá a soma das segundas derivadas apropriadas no espaço 3D quando há simetria esférica. Na prática, usamos essa fórmula para cada região onde V(r) é dada e, em seguida, usamos Poisson para obter \rho(r).
Além disso, se o potencial for contínuo mas sua derivada radial tiver descontinuidade na superfície r=a, isso corresponde a uma densidade superficial de carga \sigma na casca, dada por
porque o campo elétrico \mathbf{E}=-\nabla V sofre salto igual a \sigma/\epsilon_{0}. Vamos verificar isso também para ter certeza de que não há carga concentrada na superfície.
Passo 3
Cálculo para r<a. Primeiro escrevo V de forma conveniente:
Interpretação: dentro da esfera (r<a) a densidade volumétrica é constante e igual a \rho_{0}. Isso é intuitivo: o potencial quadrático em r corresponde a campo elétrico linear em r e a densidade constante.