Um campo potencial, no espaço livre, é dado em coordenadas esféricas como:
\begin{aligned} & V(r)=\frac{\rho_{0}}{6 \epsilon_{0}}\left(3 a^{2}-r^{2}\right)(r<a) \\\ & V(r)=\frac{a^{3} \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} r}(r>a) \end{aligned}
onde \rho_{0} e a são constantes. Encontre a densidade volumétrica de cargas em toda a parte.

Passo 1

O enunciado dá o potencial escalar, função apenas de r, nas duas regiões:
V(r)=\frac{\rho_{0}}{6 \epsilon_{0}}\left(3 a^{2}-r^{2}\right)\quad(r<a)
V(r)=\frac{a^{3} \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} r}\quad(r>a)
As constantes são \rho_{0} e a. A pergunta é: encontrar a densidade volumétrica de cargas em toda a parte, ou seja, determinar \rho(r) para r<a, r>a (e verificar se há alguma contribuição localizada na casca r=a).

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar: a equação de Poisson relaciona o potencial elétrico V com a densidade volumétrica de carga \rho:
\nabla^{2}V = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Aqui \nabla^{2} é o laplaciano, \rho é a densidade volumétrica (o que queremos achar) e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Para um potencial esfericamente simétrico (depende só de r), o laplaciano se reduz à forma radial:
\nabla^{2}V(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
Explicação rápida do que cada termo significa: \frac{dV}{dr} é a derivada radial do potencial; r^{2}\frac{dV}{dr} aparece por causa da geometria esférica; aplicar \frac{d}{dr} e dividir por r^{2} dá a soma das segundas derivadas apropriadas no espaço 3D quando há simetria esférica. Na prática, usamos essa fórmula para cada região onde V(r) é dada e, em seguida, usamos Poisson para obter \rho(r).
Além disso, se o potencial for contínuo mas sua derivada radial tiver descontinuidade na superfície r=a, isso corresponde a uma densidade superficial de carga \sigma na casca, dada por
\sigma = -\epsilon_{0}\Bigl(\frac{dV_{\text{out}}}{dr}-\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\Bigr)\Bigg|_{r=a},
porque o campo elétrico \mathbf{E}=-\nabla V sofre salto igual a \sigma/\epsilon_{0}. Vamos verificar isso também para ter certeza de que não há carga concentrada na superfície.

Passo 3

Cálculo para r<a. Primeiro escrevo V de forma conveniente:
V_{\text{in}}(r)=\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\bigl(3a^{2}-r^{2}\bigr) =\frac{\rho_{0}a^{2}}{2\epsilon_{0}}-\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}r^{2}.
Derivada primeira:
\frac{dV_{\text{in}}}{dr} = -\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r.
Multiplico por r^{2}:
r^{2}\frac{dV_{\text{in}}}{dr} = -\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r^{3}.
Derivada dessa expressão:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\right) = -\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\cdot 3r^{2} = -\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,r^{2}.
Agora aplico a fórmula do laplaciano radial:
\nabla^{2}V_{\text{in}}(r) = \frac{1}{r^{2}}\left(-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,r^{2}\right) = -\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}.
Usando Poisson \nabla^{2}V=-\rho/\epsilon_{0}, temos
-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} = -\frac{\rho_{\text{in}}}{\epsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{in}}(r)=\rho_{0}.
Interpretação: dentro da esfera ( r<a) a densidade volumétrica é constante e igual a \rho_{0}. Isso é intuitivo: o potencial quadrático em r corresponde a campo elétrico linear em r e a densidade constante.

Passo 4

Cálculo para r>a. Aqui
V_{\text{out}}(r)=\frac{a^{3}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}.
Derivada primeira:
\frac{dV_{\text{out}}}{dr} = -\frac{a^{3}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}.
Multiplico por r^{2}:
r^{2}\frac{dV_{\text{out}}}{dr} = -\frac{a^{3}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}.
Derivando:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV_{\text{out}}}{dr}\right) = 0,
pois a expressão é constante em r. Portanto
\nabla^{2}V_{\text{out}}(r)=\frac{1}{r^{2}}\cdot 0 = 0.
Aplicando Poisson:
0 = -\frac{\rho_{\text{out}}}{\epsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{out}}(r)=0.
Conclusão: fora da esfera ( r>a) não há densidade volumétrica de carga.

Passo 5

Verificação na fronteira r=a (possível carga superficial). Primeiro avalio o potencial nos dois lados para checar continuidade:
V_{\text{in}}(a)=\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\bigl(3a^{2}-a^{2}\bigr)=\frac{\rho_{0}a^{2}}{3\epsilon_{0}}.
V_{\text{out}}(a)=\frac{a^{3}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}a}=\frac{\rho_{0}a^{2}}{3\epsilon_{0}}.
Logo V é contínuo em r=a. Agora as derivadas radiais em r=a:
\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\Big|_{r=a} = -\frac{\rho_{0}a}{3\epsilon_{0}}, \qquad \frac{dV_{\text{out}}}{dr}\Big|_{r=a} = -\frac{a^{3}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}a^{2}} = -\frac{\rho_{0}a}{3\epsilon_{0}}.
As derivadas são iguais, portanto não há salto no campo radial e, usando a fórmula da densidade superficial,
\sigma = -\epsilon_{0}\Bigl(\frac{dV_{\text{out}}}{dr}-\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\Bigr)\Big|_{r=a} = 0.
Ou seja, não existe carga localizada na casca r=a; toda a carga está distribuída volumetricamente dentro, com densidade \rho_{0}.

Resposta

\rho(r)=\rho_{0} para r<a
\rho(r)=0 para r>a

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