1. Uma pessoa nadando 0,80 \mathrm{~m} abaixo da superfície da água em uma piscina olha para o trampolim que está diretamente acima e vê a imagem do trampolim que é formada pela refração na superfície da água. Essa imagem possui uma altura de 5,20 \mathrm{~m} acima do nadador. Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água?

Passo 1

  • O enunciado dá: o nadador está 0,80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície da água; a imagem do trampolim, formada pela refração na superfície, fica a 5,20\\ \mathrm{m} acima do nadador.
  • Pergunta: qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água?
  • Vamos usar essas informações e a relação entre posição real e posição aparente numa superfície plana de separação entre dois meios (ar e água).

Passo 2

  • Primeiro vou te explicar o princípio físico: quando um objeto em um meio olha-se através de uma superfície plana para um observador em outro meio, a refração faz com que os raios pareçam divergir (ou convergir) de um ponto virtual. Para ângulos pequenos (aproximação paraxial) podemos usar a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta.
  • Seja H a altura real do trampolim acima da superfície (é o que queremos). Seja H_{\text{imagem}} a altura da imagem do trampolim acima da superfície (essa imagem é virtual, do ponto de vista do nadador). Considere um raio que parte do trampolim e intercepta a superfície a uma distância horizontal x do eixo; geometricamente: \tan\theta_{\text{ar}}=\frac{x}{H}e, ao traçarmos a reta refratada e estendermos para cima (para achar a imagem virtual), obtém-se \tan\theta_{\text{água}}=\frac{x}{H_{\text{imagem}}}.á
  • Pela lei de Snell, para ângulos pequenos: n_{\text{ar}}\theta_{\text{ar}}=n_{\text{água}}\theta_{\text{água}}.ááUsando \theta\approx\tan\theta e cancelando x nas razões, obtemos \frac{1}{H}\;=\;\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\cdot\frac{1}{H_{\text{imagem}}},áportanto H_{\text{imagem}}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\,H.á
  • Explicando em palavras: a altura aparente (a posição da imagem medida a partir da superfície) é a altura real multiplicada pela razão \dfrac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}á. Aqui adotamos n_{\text{ar}}=1,00 e n_{\text{água} }=\tfrac{4}{3}\approx1,33á (valor usual).

Passo 3

  • Agora calculamos a altura da imagem em relação à superfície a partir da informação dada: a imagem fica 5,20\\ \mathrm{m} acima do nadador, e o nadador está 0,80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície. Logo a altura da imagem medida a partir da superfície é H_{\text{imagem}}=5,20-0,80=4,40\\ \mathrm{m}.

Passo 4

  • Usando a relação do Passo 2: H_{\text{imagem}}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\,Háisolamos H: H=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}\,H_{\text{imagem}}.áSubstituindo n_{\text{ar}}=1, n_{\text{água}}=\tfrac{4}{3}á e H_{\text{imagem}}=4,40\\ \mathrm{m}: H=\frac{1}{4/3}\times 4,40 = \frac{3}{4}\times 4,40.

Passo 5

  • Calculando numericamente: H=\frac{3}{4}\times 4,40 = 3,30\\ \mathrm{m}.

Resposta

3,30\\ \mathrm{m}

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