- Para que intervalo de distância entre um objeto e o vértice um espelho côncavo forma uma imagem real? E no caso de um espelho esférico convexo?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar para que intervalo da distância entre um objeto e o vértice um espelho côncavo forma uma imagem real.
- Determinar o mesmo para um espelho esférico convexo.
Informações relevantes (definições e símbolos que vamos usar):
- Seja
a distância do objeto ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo principal). - Seja
a distância da imagem ao vértice (medida ao longo do eixo principal). - Seja
a distância focal do espelho. - Entendemos por “imagem real” a imagem que se forma do mesmo lado do espaço onde os raios realmente se cruzam (ou seja, no caso usual de objetos em frente ao espelho, uma imagem real corresponde a
segundo a convenção que usaremos). - Vamos considerar objetos reais colocados em frente ao espelho (portanto
).
Passo 2
Apresentando a relação fundamental (sem pular etapas): a equação dos espelhos esféricos.
Essa equação relaciona ,
e
. Ela é
Essa equação relaciona
Explicando essa fórmula como uma “ferramenta”: ela vem da construção geométrica dos raios principais e da aproximação de paraxial; serve para qualquer espelho esférico (côncavo ou convexo) quando usamos a convenção de sinais adequada. Nessa equação:
-
é a distância do objeto ao vértice (positiva se o objeto estiver na frente do espelho, caso usual). -
é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem for real e estiver na frente do espelho; negativa se a imagem for virtual e estiver atrás do espelho). -
é a distância focal (para espelho côncavo ;! para convexo ).
Vou também isolar
para trabalhar de forma direta:
portanto
Essa forma é útil porque basta olhar o sinal do quociente para saber se
é positivo (imagem real) ou negativo (imagem virtual).
Passo 3
Caso 1: espelho côncavo.
Características: a distância focal é positiva, portanto . O objeto real está em frente ao espelho, então
.
Características: a distância focal é positiva, portanto
Usando a expressão
vamos analisar o sinal de
. O numerador
é positivo porque
e
. Assim o sinal de
depende apenas do denominador
:
- Se
(ou seja ), então → imagem real. - Se
(ou seja ), então o denominador é zero e : a imagem vai para o infinito (raios paralelos após reflexão) — não é uma imagem real finita. - Se
(ou seja ), então → imagem virtual (fica atrás do espelho).
Conclusão parcial para o côncavo: para objetos reais (
) o espelho côncavo forma uma imagem real exatamente quando
Em termos de intervalo:
.
Passo 4
Interpretando fisicamente o resultado do côncavo (pra fixar):
- Se o objeto estiver além do foco (
) os raios refletidos convergem e formam uma imagem real na frente do espelho (essa imagem pode ser invertida e maior ou menor dependendo da posição exata). - Se o objeto estiver exatamente no foco (
) os raios saem paralelos e a imagem fica no infinito. - Se o objeto estiver entre o foco e o vértice (
) a reflexão diverge como se viesse de um ponto atrás do espelho → imagem virtual, direita e ampliada.
Um exemplo numérico para fixar: se
então
ou seja a imagem real aparece a
do vértice (mesma posição simétrica).
Passo 5
Caso 2: espelho convexo.
Características: a distância focal é negativa, portanto . O objeto real típico está em frente ao espelho, então
.
Características: a distância focal é negativa, portanto
Usando novamente
agora o numerador
é negativo porque
e
. O denominador
é sempre positivo porque
. Assim numerador negativo dividido por denominador positivo dá
. Ou seja, para qualquer
com
obtemos
: a imagem é sempre virtual (fica atrás do espelho) e, na prática, reduzida e direita.
Portanto, um espelho convexo NUNCA forma imagem real de um objeto real colocado em frente a ele (nenhuma distância positiva
produz
).
Passo 6
Resumo físico e exemplos rápidos para decorar na prova:
- Espelho côncavo (
): imagem real quando o objeto está além do foco. Regra prática: “fora do foco → imagem real”. Matematicamente . - Espelho convexo (
): sempre forma imagem virtual para objetos reais em frente ao espelho. Regra prática: “convexo só virtual”.
Resposta
Para o espelho côncavo:
(ou seja,
).
Para o espelho convexo: nenhuma distância
produz imagem real (ou seja, para objetos reais em frente ao espelho não há imagem real).