1. Para que intervalo de distância entre um objeto e o vértice um espelho côncavo forma uma imagem real? E no caso de um espelho esférico convexo?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar para que intervalo da distância entre um objeto e o vértice um espelho côncavo forma uma imagem real.
  • Determinar o mesmo para um espelho esférico convexo.
Informações relevantes (definições e símbolos que vamos usar):
  • Seja \;s\; a distância do objeto ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo principal).
  • Seja \;s'\; a distância da imagem ao vértice (medida ao longo do eixo principal).
  • Seja \;f\; a distância focal do espelho.
  • Entendemos por “imagem real” a imagem que se forma do mesmo lado do espaço onde os raios realmente se cruzam (ou seja, no caso usual de objetos em frente ao espelho, uma imagem real corresponde a \;s'>0\; segundo a convenção que usaremos).
  • Vamos considerar objetos reais colocados em frente ao espelho (portanto \;s>0\;).

Passo 2

Apresentando a relação fundamental (sem pular etapas): a equação dos espelhos esféricos.
Essa equação relaciona \;s\;, \;s'\; e \;f\;. Ela é
\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}.
Explicando essa fórmula como uma “ferramenta”: ela vem da construção geométrica dos raios principais e da aproximação de paraxial; serve para qualquer espelho esférico (côncavo ou convexo) quando usamos a convenção de sinais adequada. Nessa equação:
  • \;s\; é a distância do objeto ao vértice (positiva se o objeto estiver na frente do espelho, caso usual).
  • \;s'\; é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem for real e estiver na frente do espelho; negativa se a imagem for virtual e estiver atrás do espelho).
  • \;f\; é a distância focal (para espelho côncavo \;f>0;! para convexo \;f<0).
Vou também isolar \;s'\; para trabalhar de forma direta:
\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s}=\frac{s-f}{fs},
portanto
s'=\frac{fs}{s-f}.
Essa forma é útil porque basta olhar o sinal do quociente para saber se \;s'\; é positivo (imagem real) ou negativo (imagem virtual).

Passo 3

Caso 1: espelho côncavo.
Características: a distância focal é positiva, portanto \;f>0. O objeto real está em frente ao espelho, então \;s>0.
Usando a expressão
s'=\frac{fs}{s-f},
vamos analisar o sinal de \;s'\;. O numerador \;fs\; é positivo porque \;f>0 e \;s>0. Assim o sinal de \;s'\; depende apenas do denominador \;s-f\;:
  • Se \;s-f>0 (ou seja \;s>f), então \;s'>0 → imagem real.
  • Se \;s-f=0 (ou seja \;s=f), então o denominador é zero e \;s'\to\infty: a imagem vai para o infinito (raios paralelos após reflexão) — não é uma imagem real finita.
  • Se \;s-f<0 (ou seja \;s<f), então \;s'<0 → imagem virtual (fica atrás do espelho).
Conclusão parcial para o côncavo: para objetos reais ( \;s>0) o espelho côncavo forma uma imagem real exatamente quando
s>f.
Em termos de intervalo: \;s\in(f,\,+\infty).

Passo 4

Interpretando fisicamente o resultado do côncavo (pra fixar):
  • Se o objeto estiver além do foco ( \;s>f) os raios refletidos convergem e formam uma imagem real na frente do espelho (essa imagem pode ser invertida e maior ou menor dependendo da posição exata).
  • Se o objeto estiver exatamente no foco ( \;s=f) os raios saem paralelos e a imagem fica no infinito.
  • Se o objeto estiver entre o foco e o vértice ( \;0<s<f) a reflexão diverge como se viesse de um ponto atrás do espelho → imagem virtual, direita e ampliada.
Um exemplo numérico para fixar: se \;s=2f então
s'=\frac{f\cdot 2f}{2f-f}=2f,
ou seja a imagem real aparece a \;2f do vértice (mesma posição simétrica).

Passo 5

Caso 2: espelho convexo.
Características: a distância focal é negativa, portanto \;f<0. O objeto real típico está em frente ao espelho, então \;s>0.
Usando novamente
s'=\frac{fs}{s-f},
agora o numerador \;fs\; é negativo porque \;f<0 e \;s>0. O denominador \;s-f\; é sempre positivo porque \;s-f=s- (\,\text{número negativo}\,)=s+|f|>0ú. Assim numerador negativo dividido por denominador positivo dá \;s'<0. Ou seja, para qualquer \;s>0 com \;f<0 obtemos \;s'<0: a imagem é sempre virtual (fica atrás do espelho) e, na prática, reduzida e direita.
Portanto, um espelho convexo NUNCA forma imagem real de um objeto real colocado em frente a ele (nenhuma distância positiva \;s produz \;s'>0).

Passo 6

Resumo físico e exemplos rápidos para decorar na prova:
  • Espelho côncavo ( \;f>0): imagem real quando o objeto está além do foco. Regra prática: “fora do foco → imagem real”. Matematicamente \;s>f.
  • Espelho convexo ( \;f<0): sempre forma imagem virtual para objetos reais em frente ao espelho. Regra prática: “convexo só virtual”.

Resposta

Para o espelho côncavo: \;s\in(f,\,+\infty) (ou seja, \;s>f).
Para o espelho convexo: nenhuma distância s>0 produz imagem real (ou seja, para objetos reais em frente ao espelho não há imagem real).

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