Grãos de café são descafeinados em um processo de extração no qual a cafeína é removida por um solvente adequado em um processo limitado pela difusão. Admitindo grãos esféricos com raio médio de 4 mm e difusividade efetiva
na temperatura de operação, pede-se:
Para o tempo estimado, calcule a concentração de cafeína a uma distância de 2 mm da superfície do grão.
Para o tempo estimado, calcule a concentração de cafeína a uma distância de 2 mm da superfície do grão.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos grãos de café esféricos de raio médio
(ou seja,
), e dentro deles a cafeína se difunde com difusividade efetiva
. Queremos saber, num dado instante de tempo
(o “tempo estimado” que você já deve ter calculado antes), qual é a concentração de cafeína a uma distância de
da superfície do grão.
Matéria envolvida: Difusão transiente em meios esféricos (Lei de Fick 2ª Lei em coordenadas esféricas).
Matéria envolvida: Difusão transiente em meios esféricos (Lei de Fick 2ª Lei em coordenadas esféricas).
Passo 2
Primeiro, a teoria básica. Num meio esférico, a 2ª Lei de Fick em regime transiente é
onde
é a coordenada radial medida do centro do grão.
Condições de contorno típicas para extração com solvente que mantém a superfície “livre” de cafeína (concentração na superfície ) e concentração inicial uniforme
levam a uma solução em série:
Condições de contorno típicas para extração com solvente que mantém a superfície “livre” de cafeína (concentração na superfície
Passo 3
A solução clássica (ver livros de transferência de massa) é
Aqui:
-
é o raio total, -
é o ponto onde queremos a concentração.
No nosso caso, pedido “a 2 mm da superfície” significa
Passo 4
Quando a gente põe
e
, nota-se que
, que vale zero para
par e
para
ímpar. Então só aparecem termos ímpares. O termo
costuma dominar rapidinho, e a expressão fica aproximada por
Como
, fica
Resposta
A concentração de cafeína a 2 mm da superfície, no tempo
, é aproximadamente
Se você já tiver o valor numérico de
, é só substituir para achar
e, se souber
, obter
.