Grãos de café são descafeinados em um processo de extração no qual a cafeína é removida por um solvente adequado em um processo limitado pela difusão. Admitindo grãos esféricos com raio médio de 4 mm e difusividade efetiva 1,36 times 10^-6 cm^2 / s na temperatura de operação, pede-se:
Para o tempo estimado, calcule a concentração de cafeína a uma distância de 2 mm da superfície do grão.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos grãos de café esféricos de raio médio (ou seja, ), e dentro deles a cafeína se difunde com difusividade efetiva . Queremos saber, num dado instante de tempo (o “tempo estimado” que você já deve ter calculado antes), qual é a concentração de cafeína a uma distância de da superfície do grão.
Matéria envolvida: Difusão transiente em meios esféricos (Lei de Fick 2ª Lei em coordenadas esféricas).

Passo 2

Primeiro, a teoria básica. Num meio esférico, a 2ª Lei de Fick em regime transiente é
partial Cpartial t = D( partial^2 Cpartial r^2 + 2r,partial Cpartial r ),,
onde é a coordenada radial medida do centro do grão.
Condições de contorno típicas para extração com solvente que mantém a superfície “livre” de cafeína (concentração na superfície ) e concentração inicial uniforme levam a uma solução em série:

Passo 3

A solução clássica (ver livros de transferência de massa) é
C(r,t)C0 =Rrsumn=1^infty(-1)^,n+1 ;sin!l(npi,r/Rr)npi;exp!l(-,n^2pi^2 D,tR^2r),
Aqui:
  • r = R - x = 0,4 - 0,2 = 0,2 cm é o raio total,
  • é o ponto onde queremos a concentração.
No nosso caso, pedido “a 2 mm da superfície” significa

Passo 4

Quando a gente põe C(0,2,t)C0 approx Rr,(-1)^21pi,sin!l(tfracpi2r), exp!l(-tfracpi^2 D,tR^2r) = 0,40,2,1pi,1;exp!l(-pi^2,D,t(0.4)^2r) e C(0.2,t)C0approx 2pi, exp!l(-pi^2,times1,36times10^-60.16;tr) com pi^2cdot1,36times10^-60.16approx8,385times10^-5,s^-1 , nota-se que , que vale zero para par e para ímpar. Então só aparecem termos ímpares. O termo costuma dominar rapidinho, e a expressão fica aproximada por
Como , fica

Resposta

A concentração de cafeína a 2 mm da superfície, no tempo boxed% Cl(r=0,2,cm,,tr) approx C0;2pi, exp!l(-8,385times10^-5,tr), , é aproximadamente
Se você já tiver o valor numérico de , é só substituir para achar e, se souber , obter .

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