Um novo catalisador está sendo avaliado para promover uma reação termocatalítica envolvendo a redução de
a
de forma sustentável. Nos testes conduzidos em laboratório o catalisador recobre a base de um reator piloto com 10 cm de diâmetro, operando a 1 atm e
. A camada de catalisador possui 1 cm de espessura e sua superfície superior está em contato com o
puro alimentado na entrada do reator.
difunde no interior do catalisador, onde reage segundo uma reação de 1a ordem descrita pela estequiometria:
. A constante da reação é
, na temperatura de operação, a difusividade efetiva do
no catalisador poroso é
e a sua solubilidade no sólido é
. Pede-se:
Especificando as considerações e simplificações pertinentes, obtenha uma equação literal para o perfil de concentrações de
no interior do catalisador, em regime estacionário;
Especificando as considerações e simplificações pertinentes, obtenha uma equação literal para o perfil de concentrações de
Passo 1
Beleza! O enunciado pede o perfil de concentração de CO₂ dentro de uma camada de catalisador espessa L = 1 cm, em regime estacionário, onde ocorre difusão + reação de 1ª ordem (𝑟 = 𝑘₁·𝑐). Dados que vamos usar:
- De (difusividade efetiva) = 0,40 cm²/s
- k₁ (constante 1ª ordem) = 6,0 s⁻¹
- Solubilidade S = 6,2×10⁻³ (g/cm³·atm) e pCO₂ = 1 atm → c(0) = cₛ = S·1
Conteúdo: equilíbrio de massa (balanço diferencial + Lei de Fick), ODE de 2ª ordem e condições de contorno.
Passo 2
Montamos a equação de balanço unidimensional em estado estacionário, juntando difusão e reação:
De·(d²c/dx²) − k₁·c = 0
Isso vem de:
De·(d²c/dx²) − k₁·c = 0
Isso vem de:
- Lei de Fick: J = −De·dc/dx
- Balanço diferencial: dJ/dx = −r = −k₁·c
- Substitui J e chega em De·d²c/dx² = k₁·c.
Passo 3
Solução geral da ODE homogênea De·c″ − k₁·c = 0 é
c(x) = A·e^{m x} + B·e^{−m x},
onde m = √(k₁/De).
Convertendo pra funções hiperbólicas facilita:
c(x) = C·cosh(m x) + D·sinh(m x).
c(x) = A·e^{m x} + B·e^{−m x},
onde m = √(k₁/De).
Convertendo pra funções hiperbólicas facilita:
c(x) = C·cosh(m x) + D·sinh(m x).
Passo 4
Aplicamos as condições de contorno:
- Na superfície (x = 0), o catalisador vê CO₂ a 1 atm, então
c(0) = cₛ = S·1 ⇒ C = cₛ. - No fundo da camada (x = L), não há fluxo de CO₂ saindo:
(d c/dx)|_{x=L} = 0 ⇒
m·C·sinh(m L) + m·D·cosh(m L) = 0
⇒ D = −C·tanh(m L) = −cₛ·tanh(m L).
Resposta
c(x) = cₛ·[cosh(m x) − tanh(m L)·sinh(m x)],
onde
m = √(k₁/De) e cₛ = S·p_{CO₂} = 6,2×10^{-3} g/cm³.
m = √(k₁/De) e cₛ = S·p_{CO₂} = 6,2×10^{-3} g/cm³.
Alternativamente em forma mais compacta:
com
e
cm.