Um novo catalisador está sendo avaliado para promover uma reação termocatalítica envolvendo a redução de CO2(g) a CO(g) de forma sustentável. Nos testes conduzidos em laboratório o catalisador recobre a base de um reator piloto com 10 cm de diâmetro, operando a 1 atm e 800^circ C. A camada de catalisador possui 1 cm de espessura e sua superfície superior está em contato com o CO2(g) puro alimentado na entrada do reator. O2(g) difunde no interior do catalisador, onde reage segundo uma reação de 1a ordem descrita pela estequiometria: CO2(g) CO(g)+1 / 2 O2(g). A constante da reação é k1=6,0 s^-1 e, na temperatura de operação, a difusividade efetiva do CO2(g) no catalisador poroso é 0,40 cm^2 / s e a sua solubilidade no sólido é 6,2 times 10^-3(g / cm^3 atm). Pede-se:
Especificando as considerações e simplificações pertinentes, obtenha uma equação literal para o perfil de concentrações de CO2(g) no interior do catalisador, em regime estacionário;

Passo 1

Beleza! O enunciado pede o perfil de concentração de CO₂ dentro de uma camada de catalisador espessa L = 1 cm, em regime estacionário, onde ocorre difusão + reação de 1ª ordem (𝑟 = 𝑘₁·𝑐). Dados que vamos usar:
  • De (difusividade efetiva) = 0,40 cm²/s
  • k₁ (constante 1ª ordem) = 6,0 s⁻¹
  • Solubilidade S = 6,2×10⁻³ (g/cm³·atm) e pCO₂ = 1 atm → c(0) = cₛ = S·1
    Conteúdo: equilíbrio de massa (balanço diferencial + Lei de Fick), ODE de 2ª ordem e condições de contorno.

Passo 2

Montamos a equação de balanço unidimensional em estado estacionário, juntando difusão e reação:
De·(d²c/dx²) − k₁·c = 0
Isso vem de:
  1. Lei de Fick: J = −De·dc/dx
  2. Balanço diferencial: dJ/dx = −r = −k₁·c
  3. Substitui J e chega em De·d²c/dx² = k₁·c.

Passo 3

Solução geral da ODE homogênea De·c″ − k₁·c = 0 é
c(x) = A·e^{m x} + B·e^{−m x},
onde m = √(k₁/De).
Convertendo pra funções hiperbólicas facilita:
c(x) = C·cosh(m x) + D·sinh(m x).

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno:
  1. Na superfície (x = 0), o catalisador vê CO₂ a 1 atm, então
    c(0) = cₛ = S·1 ⇒ C = cₛ.
  2. No fundo da camada (x = L), não há fluxo de CO₂ saindo:
    (d c/dx)|_{x=L} = 0 ⇒
    m·C·sinh(m L) + m·D·cosh(m L) = 0
    ⇒ D = −C·tanh(m L) = −cₛ·tanh(m L).

Resposta

c(x) = cₛ·[cosh(m x) − tanh(m L)·sinh(m x)],
onde
m = √(k₁/De) e cₛ = S·p_{CO₂} = 6,2×10^{-3} g/cm³.
Alternativamente em forma mais compacta:
c(x) ;=; cₛ;coshl[m,(L - x)r]cosh(m,L)!,
com e cm.

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