Griffiths, página 542
Explique o significado da equação
\square^{2} A^{\mu}=-\mu_{0} J^{\mu},
onde
\square^{2}=\frac{\partial}{\partial x_{\nu}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação covariante de Maxwell em termos do quatro-potencial A^{\mu} e do quatro-corrente J^{\mu}:
\square^{2}A^{\mu}=-\mu_{0}J^{\mu},
sendo
\square^{2}=\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} =\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}.
O conteúdo aqui é a formulação relativística de Maxwell usando tensores e o operador de D’Alembert (ou “caixa”). Vamos precisar dos conceitos de quatro-vetores, da escolha da calibração de Lorenz e da interpretação física de uma equação de onda com fonte.

Passo 2

Definimos o quatro-potencial
A^{\mu}=\bigl(\tfrac{\varphi}{c},\,\mathbf{A}\bigr)
e o quatro-corrente
J^{\mu}=\bigl(c\,\rho,\,\mathbf{J}\bigr).
Em eletrodinâmica clássica, \varphi é o potencial escalar, \mathbf{A} é o potencial vetor, \rho a densidade de carga e \mathbf{J} a densidade de corrente. Esses objetos se combinam em quatro-vetores para ficar explícita a simetria de Lorentz.

Passo 3

O operador
\square^{2}=\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}
é o D’Alembertiano, também chamado de “caixa” de Minkowski. Em componentes espaciais e temporais ele vale
\square^{2}=\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}.
Esse operador é invariante de Lorentz e generaliza a noção de laplaciano ao espaço-tempo.

Passo 4

Para obter
\square^{2}A^{\mu}=-\mu_{0}J^{\mu}
é preciso escolher a calibração de Lorenz, que impõe
\partial_{\mu}A^{\mu}=0.
Sob essa condição, as quatro equações de Maxwell (duas diferenciais de campo elétrico e magnético) se combinam numa só equação de onda para cada componente de A^{\mu}, acoplada às fontes J^{\mu}.

Passo 5

A equação
\square^{2}A^{\mu}=-\mu_{0}J^{\mu}
é uma equação de onda inhomogênea: cada componente de A^{\mu} satisfaz
\Bigl(\nabla^{2}-\tfrac{1}{c^{2}}\partial_{t}^{2}\Bigr)A^{\mu}=-\mu_{0}J^{\mu}.
Fisicamente, isso significa que as perturbações do potencial se propagam à velocidade da luz c e são geradas pelas densidades de carga e corrente no quatro-corrente.

Passo 6

A solução geral dessa equação são os potenciais retardados de Liénard–Wiechert, que descrevem como cada elemento de carga ou corrente emite sinais (potenciais) que chegam ao ponto de observação com atraso de tempo \tfrac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}.

Resposta

A equação
\square^{2}A^{\mu}=-\mu_{0}J^{\mu}
é a forma relativística das equações de Maxwell no calibre de Lorenz. Ela diz que o quatro-potencial A^{\mu} satisfaz uma equação de onda inhomogênea com fonte dada pelo quatro-corrente J^{\mu}, garantindo que os efeitos eletromagnéticos se propagam à velocidade da luz e decorrem das distribuições de carga e corrente.

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