Griffiths, Página 531
Mostre que as regras de transformação para os campos \vec{E} e \vec{B} na região entre as placas de um capacitor de placas paralelas grande são
\begin{array}{lll} \bar{E}_{x}=E_{x}, & \bar{E}_{y}=\gamma\left(E_{y}-v B_{z}\right), & \bar{E}_{z}=\gamma\left(E_{z}+v B_{y}\right), \\\ \bar{B}_{x}=B_{x}, & \bar{B}_{y}=\gamma\left(B_{y}+\frac{v}{c^{2}} E_{z}\right), & \bar{B}_{z}=\gamma\left(B_{z}-\frac{v}{c^{2}} E_{y}\right) . \end{array}

Passo 1

No referencial próprio do capacitor as placas estão em repouso e, portanto, há apenas um campo elétrico uniforme \mathbf{E} (perpendicular às placas) e \mathbf{B}=0. Queremos achar os campos \bar{\mathbf{E}} e \bar{\mathbf{B}} num referencial que se move com velocidade \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{x}}. Para isso, vamos usar as leis de transformação dos campos eletromagnéticos sob um boost de Lorentz de velocidade \mathbf{v}.

Passo 2

As regras gerais de transformação de um boost com velocidade \mathbf{v} são:
\mathbf{E}_{\parallel}'=\mathbf{E}_{\parallel}, \quad \mathbf{B}_{\parallel}'=\mathbf{B}_{\parallel},
\mathbf{E}_{\perp}'=\gamma\bigl(\mathbf{E}_{\perp}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr), \quad \mathbf{B}_{\perp}'=\gamma\Bigl(\mathbf{B}_{\perp}-\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}}{c^2}\Bigr),
onde “ \parallel” e “ \perp” indicam as componentes paralela e perpendicular a \mathbf{v}, respectivamente, e \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}.

Passo 3

No nosso caso \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{x}}, logo as componentes paralelas são as x-componentes e as perpendiculares são y e z. Assim já temos de cara:
\bar{E}_{x}=E_{x}, \qquad \bar{B}_{x}=B_{x}.

Passo 4

Para as componentes perpendiculares precisamos do produto vetorial. Como
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = v\,\hat{\mathbf{x}}\times\bigl(B_y\,\hat{\mathbf{y}}+B_z\,\hat{\mathbf{z}}\bigr) = -v\,B_{z}\,\hat{\mathbf{y}} + v\,B_{y}\,\hat{\mathbf{z}},
\mathbf{v}\times\mathbf{E} = v\,\hat{\mathbf{x}}\times\bigl(E_y\,\hat{\mathbf{y}}+E_z\,\hat{\mathbf{z}}\bigr) = -v\,E_{z}\,\hat{\mathbf{y}} + v\,E_{y}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 5

Aplicando as fórmulas de transformação às componentes y e z:
\bar{E}_{y} =\gamma\bigl(E_{y}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_{y}\bigr) =\gamma\bigl(E_{y}-v\,B_{z}\bigr), \quad \bar{E}_{z} =\gamma\bigl(E_{z}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_{z}\bigr) =\gamma\bigl(E_{z}+v\,B_{y}\bigr),
\bar{B}_{y} =\gamma\Bigl(B_{y}-\frac{(\mathbf{v}\times\mathbf{E})_{y}}{c^2}\Bigr) =\gamma\Bigl(B_{y}+\frac{v\,E_{z}}{c^2}\Bigr), \quad \bar{B}_{z} =\gamma\Bigl(B_{z}-\frac{(\mathbf{v}\times\mathbf{E})_{z}}{c^2}\Bigr) =\gamma\Bigl(B_{z}-\frac{v\,E_{y}}{c^2}\Bigr).

Resposta

\bar{E}_{x}=E_{x}
\bar{E}_{y}=\gamma\bigl(E_{y}-v\,B_{z}\bigr)
\bar{E}_{z}=\gamma\bigl(E_{z}+v\,B_{y}\bigr)
\bar{B}_{x}=B_{x}
\bar{B}_{y}=\gamma\bigl(B_{y}+\tfrac{v}{c^{2}}E_{z}\bigr)
\bar{B}_{z}=\gamma\bigl(B_{z}-\tfrac{v}{c^{2}}E_{y}\bigr)

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