6.7 Os núcleos dos átomos em um determinado sólido cristalino possuem spin igual a um. De acordo com a teoria quântica, cada núcleo pode, portanto, estar em qualquer um dos três estados quânticos rotulados pelo número quântico m, onde m=1,0 ou -1 . Esse número quântico mede a projeção do spin nuclear ao longo de um eixo cristalino do sólido.
Como a distribuiçāo de carga elétrica no núcleo nāo é esfericamente simétrica, mas elipsoidal, a energia de um núcleo depende da orientaçāo do seu spin em relaçāo ao campo elétrico interno existente em sua localizaçāo. Assim, um núcleo tem a mesma energia E=\varepsilon nos estados m=1 e m=-1, comparada com uma energia \mathrm{E}=0 no estado \mathrm{m}=0.
(a) Encontre uma expressāo, como funçāo da temperatura absoluta T, para a contribuiçāo nuclear à energia interna molar do sólido.
(b) Encontre uma expressāo, como funçāo de T, para a contribuiçāo nuclear à entropia molar do sólido.
(c) Contando diretamente o número total de estados acessíveis, calcule a contribuiçāo nuclear à entropia molar do sólido em temperaturas muito baixas. Calcule também em temperaturas muito altas. Mostre que a expressão da parte (b) reduz-se corretamente a esses valores nos limites \mathrm{T} \rightarrow 0 e \mathrm{T} \rightarrow \infty.
(d) Faça um gráfico qualitativo mostrando a dependência com a temperatura da contribuiçāo nuclear à capacidade calorífica molar do sólido. Calcule sua dependência com a temperatura explicitamente. Qual é a dependência em temperaturas altas de T ?
Passo 1
O enunciado trata de núcleos com spin 1 em que os estados m=\pm1 têm energia \varepsilon e o estado m=0 tem energia 0. Como são partículas independentes em equilíbrio térmico, usamos o formalismo canônico: definimos \beta=1/(kT), calculamos a função de partição por núcleo, depois a energia interna molar e a entropia molar via derivações em \beta e T.
Qualitativamente, C_{\rm nuc}(T) cresce desde zero, atinge um pico em T\sim \varepsilon/k (anomalia de Schottky) e decai como 1/T^2 em altas temperaturas.