(Griffiths, Problema 1.14, pg. 15) Seja
a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo
, no instante
.
(a) Mostre que
, onde
. Qual é a unidade de
? Observação:
é chamada de corrente de probabilidade, pois estabelece a taxa com que a probabilidade ‘flui’ através do ponto
. Se
aumenta, então mais probabilidade está fluindo para dentro da região em uma extremidade do que está fluindo para fora na outra. [Resp.: a unidade de
é
].
(b) Encontre a corrente de probabilidade para a função de onda no Problema 1.9 (problema anterior). [Resp.:
.
(a) Mostre que
(b) Encontre a corrente de probabilidade para a função de onda no Problema 1.9 (problema anterior). [Resp.:
Passo 1
O enunciado define a probabilidade de achar a partícula entre
e
no instante
como
e introduz a corrente de probabilidade
Precisamos mostrar que
identificar a unidade de
e, em (b), calcular
para a solução dada no problema anterior.
Passo 2
Começamos calculando a derivada de
:
Agora usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo e sua conjugada:
Substituindo em
, nota-se que os termos com
se cancelam, sobrando apenas derivadas em
.
Passo 3
Após substituir e reorganizar, obtemos
Mas o integrando é exatamente
. Assim,
com sinal trocado. Logo
o que prova a parte (a).
Passo 4
Como
é adimensional,
tem dimensão de
. Portanto
também tem unidade de
, isto é, probabilidade por unidade de tempo.
Passo 5
No Problema 1.9 a função de onda é da forma
com
real. Calculamos