(Griffiths, Problema 1.14, pg. 15) Seja P_{a b}(t) a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo (a<x<b), no instante t.
(a) Mostre que \frac{d P_{a b}}{d t}=J(a, t)-J(b, t), onde J(x, t) \equiv \frac{i \hbar}{2 m}\left(\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}-\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right). Qual é a unidade de J(x, t) ? Observação: J(x, t) é chamada de corrente de probabilidade, pois estabelece a taxa com que a probabilidade ‘flui’ através do ponto x. Se P_{a b}(t) aumenta, então mais probabilidade está fluindo para dentro da região em uma extremidade do que está fluindo para fora na outra. [Resp.: a unidade de J(x, t) é \frac{1}{\text { tempo }} ].
(b) Encontre a corrente de probabilidade para a função de onda no Problema 1.9 (problema anterior). [Resp.: J(x, t)=0].

Passo 1

O enunciado define a probabilidade de achar a partícula entre x=a e x=b no instante t como
P_{ab}(t)=\int_{a}^{b}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx
e introduz a corrente de probabilidade
J(x,t)=\frac{i\hbar}{2m}\Bigl(\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}-\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\Bigr).
Precisamos mostrar que
\frac{dP_{ab}}{dt}=J(a,t)-J(b,t),
identificar a unidade de J e, em (b), calcular J(x,t) para a solução dada no problema anterior.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de P_{ab}(t):
\frac{dP_{ab}}{dt} =\frac{d}{dt}\int_{a}^{b}\Psi^{*}\Psi\,dx =\int_{a}^{b}\Bigl(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial t}+\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}\Bigr)\,dx.
Agora usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo e sua conjugada:
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi, \quad -i\hbar\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+V\Psi^{*}.
Substituindo em \frac{dP_{ab}}{dt}, nota-se que os termos com V se cancelam, sobrando apenas derivadas em x.

Passo 3

Após substituir e reorganizar, obtemos
\frac{dP_{ab}}{dt} =\frac{i\hbar}{2m}\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\Psi\,\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x} -\Psi^{*}\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}\Bigr)\,dx.
Mas o integrando é exatamente \partial J/\partial x. Assim,
\frac{dP_{ab}}{dt} =\int_{a}^{b}\frac{\partial J}{\partial x}\,dx =J(b,t)-J(a,t)
com sinal trocado. Logo
\frac{dP_{ab}}{dt}=J(a,t)-J(b,t),
o que prova a parte (a).

Passo 4

Como P_{ab} é adimensional, \frac{dP_{ab}}{dt} tem dimensão de \text{tempo}^{-1}. Portanto J também tem unidade de \text{tempo}^{-1}, isto é, probabilidade por unidade de tempo.

Passo 5

No Problema 1.9 a função de onda é da forma
\Psi(x,t)=\varphi(x)\,e^{-iEt/\hbar}
com \varphi(x) real. Calculamos
J(x,t) =\frac{i\hbar}{2m}\Bigl(\Psi\,\varphi'(x)\,e^{+iEt/\hbar} -\Psi^{*}\,\varphi'(x)\,e^{-iEt/\hbar}\Bigr) =\frac{i\hbar\varphi(x)\varphi'(x)}{2m}\bigl(e^{0}-e^{0}\bigr)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{dP_{ab}}{dt}=J(a,t)-J(b,t), unidade de J é \text{tempo}^{-1}, e para a função do problema 1.9 tem-se J(x,t)=0.

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