(Griffiths, Problema 1.9, pg. 15) Uma partícula de massa m está no estado \Psi(x, t)=A e^{-a\left[\left(m x^{2} / \hbar\right)+i t\right]}, onde A e a são constantes reais positivas.
(a) Encontre a função energia potencial V(x) tal que \Psi(x, t) satisfaça a equação de Schrödinger. [Resp.: V(x)= \left.2 m a^{2} x^{2}\right].
(b) Verifique se o princípio da incerteza de Heisenberg é violado. [Resp.: Não, pois \sigma_{x} \sigma_{p}=\frac{\hbar}{2} ].

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\Psi(x,t)=A\,e^{-a\bigl(\tfrac{m x^2}{\hbar}+i\,t\bigr)},
com A,a>0 reais, e pede:
– (a) determinar V(x) tal que \Psi satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo;
– (b) calcular as incertezas \sigma_x e \sigma_p e verificar se \sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2.
O conteúdo é manipular a equação de Schrödinger
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V(x)\,\Psi
e usar propriedades de gaussianas para achar as variâncias.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas necessárias. Como
\Psi(x,t)=A\,\exp\Bigl(-a\frac{m x^2}{\hbar}\Bigr)\, \exp\bigl(-i\,a\,t\bigr),
temos
\frac{\partial\Psi}{\partial t} =-i\,a\,\Psi,
e
\frac{\partial\Psi}{\partial x} =-2a\,\frac{m x}{\hbar}\,\Psi, \quad \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} =\Bigl(-2a\,\frac{m}{\hbar}+4a^2\frac{m^2 x^2}{\hbar^2}\Bigr)\Psi.

Passo 3

Substituindo na equação de Schrödinger:
i\hbar(-i\,a)\,\Psi =-\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(-2a\frac{m}{\hbar}+4a^2\frac{m^2 x^2}{\hbar^2}\Bigr)\Psi +V(x)\,\Psi.
O lado esquerdo é \hbar a\,\Psi. No direito:
-\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(-2a\frac{m}{\hbar}\Bigr)\Psi =-\frac{\hbar^2}{2m}\bigl(-2a\,\tfrac{m}{\hbar}\bigr)\Psi =\hbar a\,\Psi,
que cancela com o lado esquerdo, restando
0 =-\frac{\hbar^2}{2m}\,4a^2\frac{m^2 x^2}{\hbar^2}\,\Psi +V(x)\,\Psi \;\Longrightarrow\; V(x)=2m\,a^2\,x^2.

Passo 4

Para a incerteza em x usamos que |\Psi|^2\propto e^{-2a m x^2/\hbar} é uma gaussiana com parâmetro \alpha=\tfrac{2am}{\hbar}. Em geral, se \rho(x)\propto e^{-\alpha x^2} então \langle x^2\rangle=\tfrac{1}{2\alpha} e \langle x\rangle=0. Aqui
\sigma_x =\sqrt{\langle x^2\rangle} =\sqrt{\frac{1}{2\alpha}} =\sqrt{\frac{\hbar}{4a m}}.
Para a incerteza em p de uma gaussiana tem-se
\sigma_p =\hbar\sqrt{\frac{\alpha}{2}} =\hbar\sqrt{\frac{a m}{2\hbar}} =\sqrt{a m\hbar}\,\frac{1}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{a m\hbar}{2}}.

Passo 5

Multiplicando:
\sigma_x\,\sigma_p =\sqrt{\frac{\hbar}{4a m}}\;\sqrt{\frac{a m\hbar}{2}} =\frac{\hbar}{2}.
Logo o produto atinge o limite mínimo prescrito pelo princípio de incerteza e não é violado.

Resposta

(a) V(x)=2\,m\,a^2\,x^2.
(b) \sigma_x\sigma_p=\hbar/2, logo não há violação do princípio de incerteza.

Exercícios relacionados