(Griffiths, Problema 1.9, pg. 15) Uma partícula de massa
está no estado
, onde
e
são constantes reais positivas.
(a) Encontre a função energia potencial
tal que
satisfaça a equação de Schrödinger. [Resp.:
.
(b) Verifique se o princípio da incerteza de Heisenberg é violado. [Resp.: Não, pois
].
(a) Encontre a função energia potencial
(b) Verifique se o princípio da incerteza de Heisenberg é violado. [Resp.: Não, pois
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
com
reais, e pede:
– (a) determinar tal que
satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo;
– (b) calcular as incertezas e
e verificar se
.
O conteúdo é manipular a equação de Schrödinger
– (a) determinar
– (b) calcular as incertezas
O conteúdo é manipular a equação de Schrödinger
e usar propriedades de gaussianas para achar as variâncias.
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas necessárias. Como
temos
e
Passo 3
Substituindo na equação de Schrödinger:
O lado esquerdo é
. No direito:
que cancela com o lado esquerdo, restando
Passo 4
Para a incerteza em
usamos que
é uma gaussiana com parâmetro
. Em geral, se
então
e
. Aqui
Para a incerteza em
de uma gaussiana tem-se
Passo 5
Multiplicando:
Logo o produto atinge o limite mínimo prescrito pelo princípio de incerteza e não é violado.
Resposta
(a)
.
(b) , logo não há violação do princípio de incerteza.
(b)