(Griffiths, Problema 1.8, pg. 14) Suponha que você acrescente uma constante V_{0} à energia potencial (por ‘constante’ quero dizer independente de x, bem como de t ). Na mecânica clássica isso não muda nada, mas e na mecânica quântica? Mostre que a função de onda adquire um fator de fase dependente do tempo: e^{\frac{-i V_{0} t}{\hbar}}. Que efeito isso tem no valor esperado de uma variável dinâmica?

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece se a gente acrescenta uma constante V_{0} ao potencial num problema de Mecânica Quântica. Em clássica não muda nada, mas em QM temos de ver como fica a equação de Schrödinger dependente do tempo. O objetivo é mostrar que a nova função de onda difere da antiga por um fator de fase \exp\bigl(-iV_{0}t/\hbar\bigr) e verificar o efeito disso nos valores esperados.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger original (sem V_{0}) como
i\hbar\,\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \bigl[T + V(x)\bigr]\,\Phi,
onde T é a parte cinética e V(x) o potencial “antigo”. Se definirmos o novo Hamiltoniano com a constante,
H' = T + V(x) + V_{0},
a equação de Schrödinger modificada é
i\hbar\,\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \bigl[T + V(x) + V_{0}\bigr]\,\Psi.

Passo 3

Para relacionar \Psi com \Phi, fazemos o ansatz
\Psi(x,t)=e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\;\Phi(x,t).
Agora basta substituir esse \Psi na equação com H'.

Passo 4

Calculando a derivada temporal de \Psi:
\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \Bigl(-\tfrac{iV_{0}}{\hbar}\Bigr)e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\Phi + e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\frac{\partial \Phi}{\partial t}.
Multiplicando por i\hbar e agrupando termos,
i\hbar\,\frac{\partial \Psi}{\partial t} = V_{0}\,e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\Phi + e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\bigl(i\hbar\,\partial_t\Phi\bigr).
Como \Phi satisfaz
i\hbar\,\partial_t\Phi=(T+V)\,\Phi,
vemos que
i\hbar\,\frac{\partial \Psi}{\partial t} = e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\bigl[(T+V)\Phi + V_{0}\Phi\bigr] = \bigl[T+V+V_{0}\bigr]\Psi,
ou seja, \Psi resolve a equação com H'. Isso confirma que
\Psi(x,t)=e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\;\Phi(x,t).

Passo 5

Para qualquer operador dinâmico A, seu valor esperado é
\langle A\rangle' = \int\!\Psi^*(x,t)\,A\,\Psi(x,t)\,dx.
Substituindo \Psi=e^{-iV_{0}t/\hbar}\Phi e \Psi^*=e^{+iV_{0}t/\hbar}\Phi^*, o fator de fase cancela:
\langle A\rangle' = \int\!\Phi^*\,A\,\Phi\,dx = \langle A\rangle.
Logo, adicionar V_{0} só introduz uma fase global temporal, sem alterar nenhum valor esperado mensurável.

Resposta

A nova função de onda é
\Psi(x,t)=e^{-\tfrac{iV_{0}t}{\hbar}}\;\Phi(x,t),
e não há efeito sobre o valor esperado de qualquer variável dinâmica, pois o fator de fase cancela nas integrais de expectativa.

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