(Griffiths, Problema 1.8, pg. 14) Suponha que você acrescente uma constante
à energia potencial (por ‘constante’ quero dizer independente de
, bem como de
). Na mecânica clássica isso não muda nada, mas e na mecânica quântica? Mostre que a função de onda adquire um fator de fase dependente do tempo:
. Que efeito isso tem no valor esperado de uma variável dinâmica?
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece se a gente acrescenta uma constante
ao potencial num problema de Mecânica Quântica. Em clássica não muda nada, mas em QM temos de ver como fica a equação de Schrödinger dependente do tempo. O objetivo é mostrar que a nova função de onda difere da antiga por um fator de fase
e verificar o efeito disso nos valores esperados.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger original (sem
) como
onde
é a parte cinética e
o potencial “antigo”. Se definirmos o novo Hamiltoniano com a constante,
a equação de Schrödinger modificada é
Passo 3
Para relacionar
com
, fazemos o ansatz
Agora basta substituir esse
na equação com
.
Passo 4
Calculando a derivada temporal de
:
Multiplicando por
e agrupando termos,
Como
satisfaz
vemos que
ou seja,
resolve a equação com
. Isso confirma que
Passo 5
Para qualquer operador dinâmico
, seu valor esperado é
Substituindo
e
, o fator de fase cancela:
Logo, adicionar
só introduz uma fase global temporal, sem alterar nenhum valor esperado mensurável.
Resposta
A nova função de onda é
e não há efeito sobre o valor esperado de qualquer variável dinâmica, pois o fator de fase cancela nas integrais de expectativa.