(Griffiths, Problema 1.17, pg. 16) Uma partícula está representada, no instante t=0, pela função de onda
\Psi(x, 0)=\left\{\begin{array}{rcc} A\left(a^{2}-x^{2}\right), & \text { se } & -a \leq x \leq+a \\\\ 0, & \text { caso contrário } & \end{array}\right.á
onde A e a são constantes reais e positivas.
(a) Determine a constante de normalização A. [Resp.: A=\sqrt{\frac{15}{16 a^{5}}} ].
(b) Qual o valor esperado de x no instante t=0 ? (Ou seja, qual o valor \langle x\rangle_{t=0} ?) [ Resp.: \langle x\rangle_{t=0}=0 ].
(c) Qual o valor esperado de p no instante t=0 ? (Note que você não pode obtê-lo usando p=m \frac{d\langle x\rangle}{d t}. Por que não?) [Resp.: \langle p\rangle_{t=0}=0. Nesse caso não podemos utilizar p=m \frac{d\langle x\rangle}{d t} para o cálculo de \langle p\rangle porque só conhecemos o valor de \langle x\rangle em um instante partícular t=0].
(d) Verifique, ainda para esse instante t=0, se o princípio da incerteza é violado.
[Resp.: Como \sigma_{x} \sigma_{p}=\sqrt{\frac{10}{7}} \frac{\hbar}{2}>\frac{\hbar}{2}, o princípio da incerteza não é violado].

Passo 1

Resumimos o enunciado: no instante t=0 a função de onda da partícula é \Psi(x,0)=A\bigl(a^2-x^2\bigr) para -a\le x\le a e zero fora desse intervalo.
Precisamos determinar a constante de normalização A, depois calcular os valores esperados \langle x\rangle e \langle p\rangle em t=0 e, por fim, verificar se o produto das incertezas \sigma_x\sigma_p respeita o princípio de Heisenberg, isto é \sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2.

Passo 2

Para normalizar a função de onda exigimos
1=\int_{-\;a}^{a}|\Psi(x,0)|^2\,dx =A^2\int_{-\;a}^{a}\bigl(a^2-x^2\bigr)^2dx =A^2\frac{16\,a^5}{15}.
Logo
A=\sqrt{\frac{15}{16\,a^5}}.

Passo 3

O valor esperado de x é
\langle x\rangle=\int_{-\;a}^{a}x\,|\Psi(x,0)|^2\,dx.
Como |\Psi|^2 é função par e x é função ímpar, o integrando é ímpar em [-a,a] e a integral vale zero.
Portanto
\langle x\rangle_{t=0}=0.

Passo 4

O valor esperado de p no espaço de posição usa o operador \hat p=-i\hbar\,\frac{d}{dx}:
\langle p\rangle =\int_{-\;a}^{a}\Psi^*(x,0)\bigl(-i\hbar\frac{d}{dx}\bigr)\Psi(x,0)\,dx.
Aqui \Psi(x,0) é função par, sua derivada é ímpar e o produto par×ímpar é ímpar, de modo que a integral também é zero.
Logo
\langle p\rangle_{t=0}=0.
Não podemos usar p=m\,d\langle x\rangle/dt porque só conhecemos \langle x\rangle num instante isolado t=0, sem informação sobre sua variação temporal.

Passo 5

Calculamos primeiro
\langle x^2\rangle =\int_{-\;a}^{a}x^2|\Psi|^2dx =\frac{a^2}{7},
logo \sigma_x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=a/\sqrt7.
Em seguida, usando integração por partes e \Psi(\pm a)=0, obtém-se
\langle p^2\rangle =-\hbar^2\int\Psi^*\,\Psi''\,dx =\frac{5\hbar^2}{2a^2},
de onde \sigma_p=\hbar\sqrt{5/2}/a.
Portanto
\sigma_x\,\sigma_p =\frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{10}{7}} >\frac{\hbar}{2},
e o princípio da incerteza não é violado.

Resposta

(a) A=\sqrt{\frac{15}{16\,a^5}}.
(b) \langle x\rangle_{t=0}=0.
(c) \langle p\rangle_{t=0}=0. Não se usa m\,d\langle x\rangle/dt pois não há informação de variação em t\neq0.
(d) \sigma_x\,\sigma_p=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\tfrac{10}{7}}>\frac{\hbar}{2}, logo não há violação.

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