(Griffiths, Problema 1.17, pg. 16) Uma partícula está representada, no instante t=0, pela função de onda
\Psi(x, 0)=\left\{\begin{array}{rcc} A\left(a^{2}-x^{2}\right), & \text { se } & -a \leq x \leq+a \\\\ 0, & \text { caso contrário } & \end{array}\right.
onde A e a são constantes reais e positivas.
(a) Determine a constante de normalização A. [Resp.: A=\sqrt{\frac{15}{16 a^{5}}} ].
(b) Qual o valor esperado de x no instante t=0 ? (Ou seja, qual o valor \langle x\rangle_{t=0} ?) [ Resp.: \langle x\rangle_{t=0}=0 ].
(c) Qual o valor esperado de p no instante t=0 ? (Note que você não pode obtê-lo usando p=m \frac{d\langle x\rangle}{d t}. Por que não?) [Resp.: \langle p\rangle_{t=0}=0. Nesse caso não podemos utilizar p=m \frac{d\langle x\rangle}{d t} para o cálculo de \langle p\rangle porque só conhecemos o valor de \langle x\rangle em um instante partícular t=0].
(d) Verifique, ainda para esse instante t=0, se o princípio da incerteza é violado.
[Resp.: Como \sigma_{x} \sigma_{p}=\sqrt{\frac{10}{7}} \frac{\hbar}{2}>\frac{\hbar}{2}, o princípio da incerteza não é violado].
Passo 1
Resumimos o enunciado: no instante t=0 a função de onda da partícula é \Psi(x,0)=A\bigl(a^2-x^2\bigr) para -a\le x\le a e zero fora desse intervalo.
Precisamos determinar a constante de normalização A, depois calcular os valores esperados \langle x\rangle e \langle p\rangle em t=0 e, por fim, verificar se o produto das incertezas \sigma_x\sigma_p respeita o princípio de Heisenberg, isto é \sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2.
(a) A=\sqrt{\frac{15}{16\,a^5}}.
(b) \langle x\rangle_{t=0}=0.
(c) \langle p\rangle_{t=0}=0. Não se usa m\,d\langle x\rangle/dt pois não há informação de variação em t\neq0.
(d) \sigma_x\,\sigma_p=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\tfrac{10}{7}}>\frac{\hbar}{2}, logo não há violação.