(Griffiths, Problema 1.18, pg. 16) Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão (
) é maior do que o tamanho característico do sistema (
). Em equilíbrio térmico à temperatura
(Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
(onde
é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é antecipar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente.
Gases - Para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão
são quânticos? Dica: use a lei do gás ideal
para deduzir o espaçamento interatômico. Evidentemente (para o gás mostrar comportamento quântico), queremos que
seja a menor possível, e
tão grande quanto possível. Faça o cálculo numericamente para o hélio à pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaçamento intermolecular é de cerca de
e a temperatura é de
) é quântico?
Gases - Para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão
Passo 1
O enunciado trata do critério para que um gás apresente comportamento quântico: o comprimento de onda de de Broglie típico,
deve ser comparado ao espaçamento intermolecular
. Para um gás ideal, vamos usar a lei dos gases
e a equipartição para obter
médio e deduzir
.
Passo 2
Da equipartição, a energia cinética média satisfaz
logo
e o comprimento de Broglie típico é
Passo 3
Pela lei do gás ideal, a densidade de partículas é
e o espaçamento intermolecular caracteriza-se por
Passo 4
O limiar entre comportamento clássico e quântico ocorre quando
Isto é,
Elevando ambos os lados a potências convenientes, obtemos
Passo 5
Aplicando ao hélio (
) à pressão atmosférica (
),
Calculando
Logo, abaixo de
o hélio a 1 atm já exibe efeitos quânticos.
Passo 6
No espaço interestelar temos hidrogênio (
),
e espaçamento
. Calculamos
que é muito menor que
. Portanto o hidrogênio no espaço sideral comporta-se classicamente.
Resposta
Para o hélio a
atm, a transição quântica ocorre em
. O hidrogênio no espaço interestelar (com
e
) permanece clássico (
).