(Griffiths, Problema 1.18, pg. 16) Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( \lambda=\frac{h}{p} ) é maior do que o tamanho característico do sistema ( d ). Em equilíbrio térmico à temperatura T (Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{3}{2} k_{B} T
(onde k_{B} é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
\lambda=\frac{h}{\sqrt{3 m k_{B} T}}
O objetivo desse problema é antecipar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente.
Gases - Para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão P são quânticos? Dica: use a lei do gás ideal \left(P V=N k_{B} T\right) para deduzir o espaçamento interatômico. Evidentemente (para o gás mostrar comportamento quântico), queremos que m seja a menor possível, e P tão grande quanto possível. Faça o cálculo numericamente para o hélio à pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaçamento intermolecular é de cerca de 1,0 c m e a temperatura é de 3,0 \mathrm{~K} ) é quântico?

Passo 1

O enunciado trata do critério para que um gás apresente comportamento quântico: o comprimento de onda de de Broglie típico,
\lambda=\frac{h}{\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T}},
deve ser comparado ao espaçamento intermolecular d. Para um gás ideal, vamos usar a lei dos gases
P\,V=N\,k_{B}\,T
e a equipartição para obter p médio e deduzir d.

Passo 2

Da equipartição, a energia cinética média satisfaz
\frac{p^2}{2m}=\frac{3}{2}k_{B}T
logo
p_{\rm rms}=\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T}
e o comprimento de Broglie típico é
\lambda=\frac{h}{p_{\rm rms}} =\frac{h}{\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T}}.

Passo 3

Pela lei do gás ideal, a densidade de partículas é
n=\frac{N}{V}=\frac{P}{k_{B}\,T},
e o espaçamento intermolecular caracteriza-se por
d\sim n^{-1/3} =\left(\frac{k_{B}\,T}{P}\right)^{1/3}.

Passo 4

O limiar entre comportamento clássico e quântico ocorre quando
\lambda\approx d.
Isto é,
\frac{h}{\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T}} =\left(\frac{k_{B}\,T}{P}\right)^{1/3}.
Elevando ambos os lados a potências convenientes, obtemos
T^{5/3} =\frac{h^{2}}{3\,m\,k_{B}}\;\Bigl(\frac{P}{k_{B}}\Bigr)^{2/3} \quad\Longrightarrow\quad T =\Biggl[\frac{h^{2}}{3\,m\,k_{B}}\Biggr]^{3/5} \Bigl(\frac{P}{k_{B}}\Bigr)^{2/5}.

Passo 5

Aplicando ao hélio ( m=4\,u=4\times1{,}66\times10^{-27}\,\mathrm{kg}) à pressão atmosférica ( P=1{,}01\times10^{5}\,\mathrm{Pa}),
\frac{h^{2}}{3\,m\,k_{B}}\approx1{,}60\times10^{-18}, \quad \frac{P}{k_{B}}\approx7{,}3\times10^{27}\,\mathrm{K}^{-1}\!\mathrm{m}^{-3}.
Calculando
T\approx\bigl(1{,}60\times10^{-18}\bigr)^{3/5} \bigl(7{,}3\times10^{27}\bigr)^{2/5} \approx3{,}0\\ \mathrm{K}.
Logo, abaixo de T\sim3\\ \mathrm{K} o hélio a 1 atm já exibe efeitos quânticos.

Passo 6

No espaço interestelar temos hidrogênio ( m\approx1{,}67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}), T\approx3{,}0\\ \mathrm{K} e espaçamento d\sim1{,}0\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}. Calculamos
\lambda =\frac{h}{\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T}} \approx\frac{6{,}63\times10^{-34}}% {\sqrt{3\cdot1{,}67\times10^{-27}\cdot1{,}38\times10^{-23}\cdot3}} \approx1{,}5\times10^{-9}\,\mathrm{m},
que é muito menor que d=10^{-2}\,\mathrm{m}. Portanto o hidrogênio no espaço sideral comporta-se classicamente.

Resposta

Para o hélio a 1 atm, a transição quântica ocorre em T\approx3\\ \mathrm{K}. O hidrogênio no espaço interestelar (com d\approx1\\ \mathrm{cm} e T\approx3\\ \mathrm{K}) permanece clássico ( \lambda\ll d).

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