Questão 3 [ 3,0 pontos] - Um objeto de massa m_{1} é solto do topo de um edificio de altura h=18 \mathrm{~m} no mesmo instante em que um objeto de massa m_{2} é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial v_{0}. Quando os dois objetos colidem, eles estão se movendo na mesma direção e a velocidade de m_{1} é quatro vezes a velocidade de m_{2}. (a) Determine a altura em relação ao solo em que ocorre a colisão. (b) Obtenha o valor de v_{0}. (Ignore efeitos da resistência do ar.)

Passo 1

O enunciado trata de dois movimentos retilíneos uniformemente acelerados (queda livre e lançamento vertical) num mesmo referencial. O objeto m_{1} parte do repouso do topo a h=18 m e cai com aceleração g. O objeto m_{2} parte do solo para cima com velocidade inicial v_{0} e acelera para baixo com g após parar. Precisamos das equações horárias de posição e velocidade para cada corpo, da condição de colisão (mesma altura no mesmo instante) e da condição dada na colisão ( \lvert v_{1}\rvert=4\lvert v_{2}\rvert e mesma direção).

Passo 2

Escolhendo para baixo sentido positivo e origem no solo, as posições em função do tempo são
y_{1}(t)=h-\tfrac12\,g\,t^{2},
y_{2}(t)=v_{0}\,t-\tfrac12\,g\,t^{2}.
As velocidades (sempre positivas para baixo) são
v_{1}(t)=g\,t,
v_{2}(t)=-\,v_{0}+g\,t.

Passo 3

Na colisão y_{1}(t)=y_{2}(t), logo
h-\tfrac12\,g\,t^{2}=v_{0}\,t-\tfrac12\,g\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad h=v_{0}\,t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{h}{v_{0}}.

Passo 4

Também na colisão ambos descem, de modo que v_{2}(t)>0. A condição \lvert v_{1}\rvert=4\lvert v_{2}\rvert vira, com sinal para baixo positivo,
v_{1}=4\,v_{2} \quad\Longrightarrow\quad g\,t =4\bigl(g\,t - v_{0}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 3\,g\,t=4\,v_{0}.

Passo 5

Substituindo t=h/v_{0} em 3\,g\,t=4\,v_{0}
3\,g\,\frac{h}{v_{0}}=4\,v_{0} \quad\Longrightarrow\quad v_{0}^{2}=\frac{3}{4}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v_{0}=\sqrt{\frac{3}{4}\,g\,h}.
Com h=18 m e g=9{,}8 m/ s^{2},
v_{0}=\sqrt{\tfrac{3}{4}\cdot9{,}8\cdot18}\approx11{,}5\text{ m/s}.
A altura da colisão é, por exemplo,
y_{c}=h-\tfrac12\,g\,t^{2} =18-\tfrac12\cdot9{,}8\cdot\Bigl(\tfrac{18}{11{,}5}\Bigr)^{2}\approx6\text{ m}.

Resposta

(a) A colisão ocorre a 6 m do solo.
(b) v_{0}=\sqrt{\tfrac{3}{4}\,g\,h}\approx11{,}5 m/s.

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