(Griffiths, Problema 1.7, pg. 13) Uma das consequências do Teorema de Ehrenfest na Mecânica Quântica é que valores esperados obedecem às leis clássicas. Dessa forma, use a relação
e a equação de Schrödinger
para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando a definição
e a equação de Schrödinger dependente do tempo
O conteúdo envolve derivar sob o sinal de integral, aplicar a equação de Schrödinger e usar integração por partes, lembrando que
em
.
Passo 2
Calcule a derivada temporal de
sob o integral, usando regra do produto:
Passo 3
Substitua
e
pela Schrödinger e sua conjugada:
Passo 4
Inserindo em
e simplificando
, obtém-se
Passo 5
Separe termos cinéticos e potenciais:
Cinético:
Cinético:
Potencial:
Passo 6
No termo cinético note que
.
Integrando por partes e usando em
, esse termo dá zero.
Integrando por partes e usando
Passo 7
No termo potencial expanda
, então
Passo 8
Somando as contribuições, só sobra o termo potencial, logo
que era o que queríamos mostrar.