Uma grua (guindaste) de potência 5 kW transporta uma viga de aço do solo até uma altura de \mathrm{h}=100 \mathrm{~m} em um intervalo de tempo de 5 min . Se a viga parte do repouso e chega com velocidade (apenas na direção x) de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine:
a) A massa da viga.
b) Se a velocidade da viga atinge o valor \mathrm{v}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}= constante para \mathrm{y}<\mathrm{h}, determine o valor da velocidade dy/dt. Sugestão: despreze a contribuição da velocidade ao longo do eixo y para a energia cinética.

Passo 1

O enunciado nos dá estes dados (vou listar exatamente os valores fornecidos):
  • Potência da grua: P=5{,}0\\ \text{kW}=5000\\ \text{W}.
  • Altura final: h=100\\ \text{m}.
  • Tempo gasto para subir até h: t=5\\ \text{min}=300\\ \text{s}.
  • A viga parte do repouso (velocidade inicial nula) e ao chegar ao topo tem velocidade, somente na direção x, igual a v_x=2{,}0\\ \text{m/s}.
  • Sugestão do enunciado: desprezar a contribuição da velocidade ao longo do eixo y para a energia cinética.
As perguntas:
(a) Determinar a massa da viga m.
(b) Se a velocidade horizontal v_x=2{,}0\\ \text{m/s} é atingida e se mantém constante para y<h, determinar a velocidade vertical \dfrac{dy}{dt}. (Assumir que a energia cinética não varia com y porque a componente vertical da velocidade é desprezada para a energia cinética.)

Passo 2

Conceitos e ideias que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Potência média P é a taxa de trabalho realizado por unidade de tempo. Em termos de energia total entregue em um intervalo t:
\text{Energia fornecida }E = P\cdot t.
Aqui E tem unidade joule (J), P em watts (W) e t em segundos (s).
  • Trabalho realizado pela grua foi usado para aumentar a energia potencial gravitacional da viga e para a variação da energia cinética (apenas da componente considerada, no caso a componente x). A equação de conservação (energia fornecida = aumento de energia potencial + aumento de energia cinética) é:
P\,t = \Delta U + \Delta K.
Explicando cada termo:
  • \Delta U = m g h, onde m é a massa que queremos, g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \text{m/s}^2) e h é a elevação vertical.
  • \Delta K é a variação da energia cinética. Como a viga parte do repouso e chega com velocidade v_x horizontal, e o enunciado nos diz para desprezar a contribuição vertical para a energia cinética, temos
\Delta K = \tfrac{1}{2} m v_x^{2}.
Portanto a equação fica
P\,t = m g h + \tfrac{1}{2} m v_x^{2}.

Passo 3

Isolar m na equação de energia:
Partindo de
P\,t = m\left(g h + \tfrac{1}{2} v_x^{2}\right),
isolamos m:
m = \dfrac{P\,t}{g h + \tfrac{1}{2} v_x^{2}}.
Aqui cada símbolo:
  • P potência em \text{W},
  • t tempo em \text{s},
  • g gravidade em \text{m/s}^2,
  • h altura em \text{m},
  • v_x velocidade horizontal em \text{m/s}.
Agora substituímos os números.

Passo 4

Cálculo numérico de m:
Primeiro a energia fornecida:
P\,t = 5000\\ \text{W}\times 300\\ \text{s}=1{,}500{,}000\\ \text{J}.
Calcular o denominador:
g h + \tfrac{1}{2} v_x^{2} = 9{,}8\times 100 + \tfrac{1}{2}\times(2{,}0)^{2}.
Calcule passo a passo:
9{,}8\times 100 = 980, \qquad \tfrac{1}{2}\times(2{,}0)^{2} = \tfrac{1}{2}\times 4 = 2.
Portanto
g h + \tfrac{1}{2} v_x^{2} = 980 + 2 = 982\\ \text{(unidades: J/kg)}.
Agora:
m = \dfrac{1{,}500{,}000}{982}\\ \text{kg}\approx 1527{,}5\\ \text{kg}.
Explicação curta sobre unidade: o denominador tem unidade \text{m}^2/\text{s}^2 (ou J/kg), então ao dividir J por J/kg obtemos kg, como desejado.

Passo 5

Derivação para a parte (b) — velocidade vertical \dfrac{dy}{dt} quando v_x é constante:
Se a velocidade horizontal v_x já é 2{,}0\\ \text{m/s} e permanece constante enquanto a viga sobe, então a energia cinética associada ao movimento horizontal não varia com o tempo ( \Delta K/\Delta t = 0). Assim, toda a potência fornecida pela grua é gasta em vencer a força peso, ou seja em aumentar a energia potencial por unidade de tempo. Em linguagem de potências:
P = \dfrac{d}{dt}(m g y) = m g \dfrac{dy}{dt}.
Isolando \dfrac{dy}{dt}:
\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{P}{m g}.
Aqui:
  • P é a potência disponível,
  • m é a massa obtida no item (a),
  • g é a gravidade.

Passo 6

Cálculo numérico de \dfrac{dy}{dt}:
Substituindo P=5000\\ \text{W}, m\approx 1527{,}5\\ \text{kg} e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2:
\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{5000}{1527{,}5\times 9{,}8}\\ \text{m/s}.
Calcule o denominador:
1527{,}5\times 9{,}8 \approx 14{,}969{,}5.
Logo
\dfrac{dy}{dt} \approx \dfrac{5000}{14{,}969{,}5}\\ \text{m/s}\approx 0{,}334\\ \text{m/s}.
Interpretação: isso significa que, mantendo a componente horizontal 2{,}0\\ \text{m/s} constante, a subida vertical ocorre a cerca de 0{,}334\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) m \approx 1527{,}5\\ \text{kg}
(b) \dfrac{dy}{dt} \approx 0{,}334\\ \text{m/s}

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