Uma grua (guindaste) de potência 5 kW transporta uma viga de aço do solo até uma altura de
em um intervalo de tempo de 5 min . Se a viga parte do repouso e chega com velocidade (apenas na direção x) de
, determine:
a) A massa da viga.
b) Se a velocidade da viga atinge o valor
constante para
, determine o valor da velocidade dy/dt. Sugestão: despreze a contribuição da velocidade ao longo do eixo y para a energia cinética.
a) A massa da viga.
b) Se a velocidade da viga atinge o valor
Passo 1
O enunciado nos dá estes dados (vou listar exatamente os valores fornecidos):
- Potência da grua:
. - Altura final:
. - Tempo gasto para subir até
: . - A viga parte do repouso (velocidade inicial nula) e ao chegar ao topo tem velocidade, somente na direção
, igual a . - Sugestão do enunciado: desprezar a contribuição da velocidade ao longo do eixo
para a energia cinética.
As perguntas:
(a) Determinar a massa da viga .
(b) Se a velocidade horizontal é atingida e se mantém constante para
, determinar a velocidade vertical
. (Assumir que a energia cinética não varia com
porque a componente vertical da velocidade é desprezada para a energia cinética.)
(a) Determinar a massa da viga
(b) Se a velocidade horizontal
Passo 2
Conceitos e ideias que vamos usar (explicados passo a passo):
- Potência média
é a taxa de trabalho realizado por unidade de tempo. Em termos de energia total entregue em um intervalo :
Aqui
tem unidade joule (J),
em watts (W) e
em segundos (s).
- Trabalho realizado pela grua foi usado para aumentar a energia potencial gravitacional da viga e para a variação da energia cinética (apenas da componente considerada, no caso a componente
). A equação de conservação (energia fornecida = aumento de energia potencial + aumento de energia cinética) é:
Explicando cada termo:
-
, onde é a massa que queremos, é a aceleração da gravidade (vou usar ) e é a elevação vertical. -
é a variação da energia cinética. Como a viga parte do repouso e chega com velocidade horizontal, e o enunciado nos diz para desprezar a contribuição vertical para a energia cinética, temos
Portanto a equação fica
Passo 3
Isolar
na equação de energia:
Partindo de
isolamos
:
Aqui cada símbolo:
-
potência em , -
tempo em , -
gravidade em , -
altura em , -
velocidade horizontal em .
Agora substituímos os números.
Passo 4
Cálculo numérico de
:
Primeiro a energia fornecida:
Calcular o denominador:
Calcule passo a passo:
Portanto
Agora:
Explicação curta sobre unidade: o denominador tem unidade
(ou J/kg), então ao dividir J por J/kg obtemos kg, como desejado.
Passo 5
Derivação para a parte (b) — velocidade vertical
quando
é constante:
Se a velocidade horizontal
já é
e permanece constante enquanto a viga sobe, então a energia cinética associada ao movimento horizontal não varia com o tempo (
). Assim, toda a potência fornecida pela grua é gasta em vencer a força peso, ou seja em aumentar a energia potencial por unidade de tempo. Em linguagem de potências:
Isolando
:
Aqui:
-
é a potência disponível, -
é a massa obtida no item (a), -
é a gravidade.
Passo 6
Cálculo numérico de
:
Substituindo
,
e
:
Calcule o denominador:
Logo
Interpretação: isso significa que, mantendo a componente horizontal
constante, a subida vertical ocorre a cerca de
.
Resposta
(a)
(b)