Um bloco com 20 N de peso está posicionado sobre um plano inclinado com ângulo de (45^{\circ}). Uma força externa F é aplicada ao longo da direção ascendente do plano. Há atrito entre o bloco e o plano inclinado. Determine o valor do coeficiente de atrito estático para que o bloco fique na iminência do movimento se:
b) F=10 N. Dado: (1 / \sqrt{ } 2)=0,7.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor do coeficiente de atrito estático para que o bloco esteja na iminência de movimento, no caso em que a força aplicada vale F=10\\ \text{N}.
Dados fornecidos:
  • Peso do bloco: W=20\\ \text{N}.
  • Plano inclinado com ângulo \theta=45^\circ.
  • Força externa aplicada ao longo do plano, no sentido ascendente, com intensidade F=10\\ \text{N}.
  • Valor fornecido: \dfrac{1}{\sqrt{2}}=0,7 (usaremos isso para \sin45^\circ e \cos45^\circ).

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam no bloco (descrição para escrever a equação do equilíbrio):
  • Peso W, vertical para baixo. Componentes do peso em relação ao plano inclinado:
    • Componente paralela ao plano, no sentido descendente: W\sin\theta.
    • Componente normal ao plano: W\cos\theta.
  • Força externa F aplicada ao longo do plano, no sentido ascendente.
  • Força de atrito estático f_s, que age de forma a impedir o movimento; seu sentido é oposto ao sentido em que o bloco tenderia a mover-se. Quando o bloco está na iminência de movimento, f_s atinge seu valor máximo: f_s^{\text{max}}=\mu_s N, onde N é a força normal.

Passo 3

Calcular as componentes do peso usando \dfrac{1}{\sqrt{2}}=0,7:
\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=0,7.
Portanto:
W\sin\theta=20\cdot0,7=14\\ \text{N}, \qquad N=W\cos\theta=20\cdot0,7=14\\ \text{N}.

Passo 4

Determinar o sentido em que o bloco tende a mover-se sem atrito:
  • A componente do peso para baixo ao longo do plano é 14\\ \text{N}.
  • A força aplicada para cima é F=10\\ \text{N}.
    Logo, resultante sem atrito seria 14-10=4\\ \text{N} para baixo; isto é, o bloco tende a deslizar para baixo. Assim, a força de atrito estático, quando na iminência de movimento, atuará para cima (opõe-se ao movimento para baixo) e valerá f_s^{\text{max}}=\mu_s N.

Passo 5

Escrever a condição de equilíbrio ao longo do plano (soma das forças ao longo do plano igual a zero) quando o bloco está na iminência de movimento:
F + f_s^{\text{max}} - W\sin\theta = 0.
Substituindo f_s^{\text{max}}=\mu_s N e isolando \mu_s:
\mu_s = \frac{W\sin\theta - F}{N}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos calculados:
W\sin\theta=14\\ \text{N},\quad F=10\\ \text{N},\quad N=14\\ \text{N}.
Portanto
\mu_s=\frac{14-10}{14}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}\approx 0,286.

Passo 7

Interpretação rápida: o coeficiente \mu_s encontrado é a razão entre a máxima força de atrito necessária para impedir que o bloco deslize para baixo e a força normal. Com F=10\\ \text{N} a componente peso-paralela ainda é maior, então é preciso um atrito de cerca de 29\% da normal para segurar o bloco.

Resposta

\mu_s=\dfrac{2}{7}\approx0,286

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