Uma bola é arremessada do chăo a uma altura de 9 m. A qual velocidade a bola saiu do chan?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a bola alcança uma altura máxima de 9\\ \mathrm{m} medida a partir do chão.
  • Pedido: determinar a velocidade inicial com que a bola foi lançada do chão (ou seja, a velocidade de saída v_0).

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado devagarinho):
  • Quando lançamos uma bola verticalmente para cima, a aceleração é constante e igual à aceleração da gravidade, que aponta para baixo. Denotamos essa aceleração por g. Usualmente usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • No ponto mais alto da trajetória a velocidade instantânea é zero (a bola sobe, para um instante e depois começa a descer). Ou seja, a velocidade final no topo é v=0.
  • Para movimentos retilíneos com aceleração constante existe uma relação entre velocidades e deslocamento que não envolve o tempo:
v^{2}=v_{0}^{2}+2a(y-y_{0}),
onde:
  • v é a velocidade no instante considerado (aqui, no topo);
  • v_{0} é a velocidade inicial (o que queremos);
  • a é a aceleração (aqui a=-g, porque g aponta para baixo);
  • y é a posição final (aqui y=9\\ \mathrm{m});
  • y_{0} é a posição inicial (aqui y_{0}=0\\ \mathrm{m}, chão).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso (montando a equação):
  • No topo temos v=0. Tomando y-y_{0}=h=9\\ \mathrm{m} e a=-g, substituímos em
v^{2}=v_{0}^{2}+2a(y-y_{0}).
Fica:
0=v_{0}^{2}+2(-g)h \quad\Rightarrow\quad 0=v_{0}^{2}-2gh.
Rearranjando,
v_{0}^{2}=2gh.
Tomando raiz positiva (velocidade inicial para cima):
v_{0}=\sqrt{2gh}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
  • Use g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=9\\ \mathrm{m}.
2g=2\cdot 9{,}8 = 19{,}6
2gh = 19{,}6 \cdot 9 = 176{,}4

Passo 5

Raiz quadrada e interpretação:
  • Agora calculamos a raiz:
v_{0}=\sqrt{176{,}4}\approx 13{,}29\\ \mathrm{m/s}.
Uma verificação rápida: 13^{2}=169 e 14^{2}=196; como 176{,}4 está entre esses valores e mais próximo de 169, esperar um valor pouco maior que 13 faz sentido — e 13{,}29\\ \mathrm{m/s} é coerente.

Passo 6

Comentário útil (outro jeito de ver, sem mudar o resultado):
  • Dá para chegar ao mesmo resultado usando conservação de energia: a energia cinética inicial \tfrac{1}{2}mv_{0}^{2} vira energia potencial mgh no topo, daí \tfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=mgh e novamente v_{0}=\sqrt{2gh}. É a mesma fórmula, só outra visão.

Resposta

v_{0}\approx 13{,}29\\ \mathrm{m/s}

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