GRUPO 01- LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
Calcule:
lim x 3 raizx+1-2raiz[3]x+5-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função raizx+1-2raiz[3]x+5-2 quando x se aproxima de 3. A gente vai usar conhecimentos de limites e continuidade de funções para resolver isso. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 3 na expressão para ver o que acontece:
raiz3+1-2raiz[3]3+5-2 = raiz4-2raiz[3]8-2 = 2-22-2 = 00
A gente acaba com uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão de outra forma para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como 00, uma técnica útil é usar a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital no nosso caso. Primeiro, identificamos as funções:
  • Numerador: f(x) = raizx+1 - 2
  • Denominador: g(x) = raiz[3]x+5 - 2
Agora, derivamos cada uma delas:
  • Derivada de f(x):
    f'(x) = 12raizx+1
  • Derivada de g(x):
    g'(x) = 13(x+5)^2/3

Passo 5

Substituímos as derivadas no limite:
limx to 3 f'(x)g'(x) = limx to 3 12raizx+113(x+5)^2/3 = limx to 3 3(x+5)^2/32raizx+1

Passo 6

Agora, podemos substituir x = 3 nessa nova expressão:
3(3+5)^2/32raiz3+1 = 3(8)^2/32(2)
Sabemos que 8^1/3 = 2, então 8^2/3 = (8^1/3)^2 = 4. Substituindo:
3 times 44 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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