Método da Variação de Parâmetros: Considere a equação diferencial linear geral de primeira ordem
y^prime-p(x) y=g(x)
Se g(x)=0 mostre que a solução de y^prime-p(x) y=0 é
y(x)=C e^-integral p(x) d x
em que C é uma constante.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de primeira ordem y' - p(x)y = g(x). No caso homogêneo ( g(x)=0), ficamos com y' - p(x)y = 0, que é uma ODE linear de 1ª ordem. Para resolver, usamos separação de variáveis após reescrever na forma canônica.

Passo 2

Reescrevendo a equação homogênea como y' + p(x)y = 0 (bastou trocar o sinal de p(x)), obtemos
dydx = -p(x),y

Passo 3

Separamos as variáveis dividindo por y e multiplicando por dx:
1y,dy = -p(x),dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = -integral p(x),dx
o que leva a
ln|y| = -integral p(x),dx + C

Passo 5

Exponenciando e absorvendo o valor absoluto na constante, chegamos à solução geral:
y(x) = C e^-integral p(x),dx

Resposta

y(x) = C e^{-\int p(x),dx}

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