Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)
y e^-t d yd t=t
com valor inicial y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação:
y e^-t d yd t=t
E um valor inicial: y(0) = 1. A matéria aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos multiplicar ambos os lados por e^t para eliminar o termo e^-t:
y e^-t d yd t = t Rightarrow y d yd t = t e^t
Agora, temos:
y d yd t = t e^t

Passo 3

Vamos separar as variáveis y e t. Para isso, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dt:
y , dy = t e^t , dt
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis, deixando todas as expressões com y de um lado e com t do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A equação fica:
integral y , dy = integral t e^t , dt
Vamos resolver as integrais separadamente.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
integral y , dy = 12 y^2 + C1
Onde C1 é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, integrando o lado direito. Para resolver integral t e^t , dt, usamos o método de integração por partes, onde:
  • Seja u = t então du = dt
  • Seja dv = e^t dt então v = e^t
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t , dt = t e^t - e^t + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 7

Juntando as integrais, temos:
12 y^2 + C1 = t e^t - e^t + C2
Podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
12 y^2 = t e^t - e^t + C

Passo 8

Vamos resolver para y isolando-o na equação:
y^2 = 2(t e^t - e^t + C) Rightarrow y = raiz2(t e^t - e^t + C)

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor da constante C. Substituindo t = 0 e y = 1 na equação:
1 = raiz2(0 cdot e^0 - e^0 + C) 1 = raiz2(0 - 1 + C) 1 = raiz2(C - 1)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1 = 2(C - 1) Rightarrow C - 1 = 12 Rightarrow C = 32

Passo 10

Com o valor de C encontrado, substituímos de volta na equação de y:
y = raiz2(t e^t - e^t + 32) Rightarrow y = raiz2 e^t(t - 1) + 3

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = raiz2 e^t (t - 1) + 3

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