Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)
com valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação:
E um valor inicial:
. A matéria aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Agora, temos:
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis, deixando todas as expressões com
de um lado e com
do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A equação fica:
Vamos resolver as integrais separadamente.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, integrando o lado direito. Para resolver
, usamos o método de integração por partes, onde:
- Seja
então - Seja
então
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Juntando as integrais, temos:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Vamos resolver para
isolando-o na equação:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
e
na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 10
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: