Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher?
(A) 3 / 56
(B) 9 / 56
© 15 / 56
(D) 27 / 56
(E) 33 / 56

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo com 10 homens e 6 mulheres, totalizando 16 pessoas. Queremos formar uma comissão de 3 pessoas e descobrir qual a probabilidade dessa comissão ser composta por 2 homens e 1 mulher. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação, que nos ajudam a contar de quantas maneiras podemos escolher um determinado número de pessoas de um grupo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de formar uma comissão de 3 pessoas a partir das 16 disponíveis. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula para combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
  • $ ! $ significa fatorial.
Aplicando para o total de comissões:
n
Então, há 560 maneiras de formar qualquer comissão de 3 pessoas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de maneiras de formar uma comissão especificamente com 2 homens e 1 mulher.
Primeiro, escolhemos 2 homens entre os 10 disponíveis:
C(10, 2) = 10!2!(10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45
Em seguida, escolhemos 1 mulher entre as 6 disponíveis:
C(6, 1) = 6!1!(6 - 1)! = 6
Agora, multiplicamos as duas combinações para obter o número total de comissões com 2 homens e 1 mulher:
45 times 6 = 270

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de formar uma comissão com 2 homens e 1 mulher, dividimos o número de comissões favoráveis pelo número total de comissões possíveis:
Probabilidade = 270560 = 2756

Resposta

A probabilidade é $ \frac{27}{56} $.

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