A população da produção semanal de uma fábrica, em toneladas, é
e 300 . Forneça a distribuição amostral da média e calcule a média das médias e o erro padrão para amostras de tamanho
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Estatística que trata da distribuição amostral da média. A questão nos dá a produção semanal de uma fábrica em toneladas: 200, 250, 150, 200 e 300. Precisamos encontrar a distribuição amostral da média para amostras de tamanho
, calcular a média dessas médias e o erro padrão. Para isso, vamos usar conceitos de amostragem e distribuição de médias.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todas as possíveis amostras de tamanho 2 que podemos tirar dessa população. A população tem 5 elementos: 200, 250, 150, 200 e 300 toneladas.
Passo 3
Vamos listar todas as combinações possíveis sem repetir as mesmas amostras. As combinações são:
- (200, 250)
- (200, 150)
- (200, 200)
- (200, 300)
- (250, 150)
- (250, 200)
- (250, 300)
- (150, 200)
- (150, 300)
- (200, 300)
Passo 4
Agora, para cada uma dessas amostras, calculamos a média. A média de uma amostra é dada por:
Passo 5
Calculando as médias:
- (200, 250):
- (200, 150):
- (200, 200):
- (200, 300):
- (250, 150):
- (250, 200):
- (250, 300):
- (150, 200):
- (150, 300):
- (200, 300):
Passo 6
Agora, temos todas as médias das amostras: 225, 175, 200, 250, 200, 225, 275, 175, 225, 250.
Passo 7
Vamos organizar essas médias para construir a distribuição amostral:
- 175: 2 vezes
- 200: 2 vezes
- 225: 3 vezes
- 250: 2 vezes
- 275: 1 vez
Passo 8
Para calcular a média das médias, somamos todas as médias e dividimos pelo número de amostras:
Passo 9
Agora, calculamos o erro padrão, que é o desvio padrão das médias amostrais. Primeiro, encontramos a variância das médias:
onde
e
.
Calculando cada termo:
Somando todos:
Então, a variância é:
O erro padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A distribuição amostral da média para amostras de tamanho
é:
- 175: 20%
- 200: 20%
- 225: 30%
- 250: 20%
- 275: 10%
A média das médias é
toneladas e o erro padrão é aproximadamente
toneladas.