Prove que (A-B) cap B=emptyset.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente prove que
(A - B) ,cap, B ;=;emptyset
Isso é teoria de conjuntos básica. Para resolver, vamos precisar:
  • Definição de diferença de conjuntos ( A - B)
  • Definição de interseção de conjuntos ( Xcap Y)
  • Noções de prova por elemento genérico (ou contradição)

Passo 2

Primeiro, as definições que vamos usar:
  1. x ∈ A − B significa que xin A e xnotin B
  2. x ∈ X ∩ Y significa que xin X e xin Y
Então, dizer que
xin (A - B)cap B
significa simplesmente
l(xin A ,wed>=, xnotin Br) ;wed>=; l(xin Br)

Passo 3

Agora vamos mostrar que nenhum x pode satisfazer isso:
Suponha, para levar ao absurdo, que exista um elemento x tal que
xin (A - B)cap B
Pelas definições, isso implica simultaneamente:
  1. x ∈ A − B ⇒ x ∈ A e x ∉ B,
  2. x ∈ B.
    Mas aí estamos dizendo que x ∉ B e x ∈ B ao mesmo tempo, o que é impossível.
    Logo, não existe nenhum elemento x que pertença a (A−B)∩B.

Resposta

(A - B),cap,B ;=;emptyset

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