Prove que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente prove que
Isso é teoria de conjuntos básica. Para resolver, vamos precisar:
- Definição de diferença de conjuntos (
) - Definição de interseção de conjuntos (
) - Noções de prova por elemento genérico (ou contradição)
Passo 2
Primeiro, as definições que vamos usar:
- x ∈ A − B significa que
- x ∈ X ∩ Y significa que
Então, dizer que
significa simplesmente
Passo 3
Agora vamos mostrar que nenhum x pode satisfazer isso:
Suponha, para levar ao absurdo, que exista um elemento x tal que
Suponha, para levar ao absurdo, que exista um elemento x tal que
Pelas definições, isso implica simultaneamente:
- x ∈ A − B ⇒ x ∈ A e x ∉ B,
- x ∈ B.
Mas aí estamos dizendo que x ∉ B e x ∈ B ao mesmo tempo, o que é impossível.
Logo, não existe nenhum elemento x que pertença a (A−B)∩B.