Num grupo de 100 pessoas, 1 está inicialmente infectada. A taxa de propagação do vírus é proporcional ao número de infectados e ao número de não infectados. Sabendo que após 4 semanas há 5 infectados, determine o número de infectados em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Total de pessoas no grupo: \,N=100.
  • Número inicial de infectados no tempo inicial: \,I(0)=1.
  • A taxa de propagação do vírus é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de não infectados.
  • Após 4 semanas, o número de infectados é \,I(4)=5.
  • Pergunta: determinar o número de infectados em função do tempo t (em semanas), ou seja, encontrar I(t).

Passo 2

Modelagem diferencial (montando a equação): como a taxa de variação do número de infectados é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de não infectados, escribimos a equação diferencial
\frac{dI}{dt} = k\,I\,(N-I),
onde \,I(t) é o número de infectados no tempo t e \,k é a constante de proporcionalidade (positiva). Aqui N=100 é o total da população e t está em semanas.

Passo 3

Separação de variáveis e decomposição em frações parciais: queremos separar I e t. Escrevemos
\frac{dI}{I(N-I)} = k\,dt.
Agora usamos a identidade (verifiquei fazendo soma de frações)
\frac{1}{I(N-I)} = \frac{1}{N}\!\left(\frac{1}{I} + \frac{1}{N-I}\right).
Essa identidade é útil porque transforma a integral em soma de logaritmos.

Passo 4

Integração dos dois lados: integrando em I e t obtemos
\int \frac{dI}{I(N-I)} = \int k\,dt.
Usando a decomposição em frações parciais a integral do lado esquerdo dá
\frac{1}{N}\big(\ln|I| - \ln|N-I|\big) = k t + C,
onde C é constante de integração. Podemos juntar os logaritmos:
\frac{1}{N}\ln\!\left(\frac{I}{\,N-I\,}\right) = k t + C.

Passo 5

Isolando I: multiplicamos por N e exponenciamos:
\ln\!\left(\frac{I}{N-I}\right) = kNt + C_1
\frac{I}{N-I} = C e^{kNt},
onde C=e^{C_1}. Resolvendo para I (fazer algebra):
I = \frac{N C e^{kNt}}{1 + C e^{kNt}} = \frac{N}{1 + C^{-1} e^{-kNt}}.
Essa é a forma logística geral.

Passo 6

Determinar a constante C usando I(0)=1: em t=0 temos
\frac{I(0)}{N-I(0)} = C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{I(0)}{N-I(0)}.
Com I(0)=1 e N=100 obtemos
C = \frac{1}{100-1} = \frac{1}{99}.
Substituindo C na expressão logística obtemos uma forma conveniente:
I(t)=\frac{N}{1+\dfrac{N-I(0)}{I(0)}e^{-kNt}}.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos conhecidos ( N=100, I(0)=1) temos
I(t)=\frac{100}{1+99\,e^{-100 k t}}.

Passo 8

Determinar k usando a condição I(4)=5: substituímos t=4 na expressão anterior:
5=\frac{100}{1+99\,e^{-100 k \cdot 4}}.
Isolando a exponencial:
1+99\,e^{-400k}=\frac{100}{5}=20
99\,e^{-400k}=19
e^{-400k}=\frac{19}{99}
-400k=\ln\!\left(\frac{19}{99}\right)
k=\frac{1}{400}\ln\!\left(\frac{99}{19}\right).
Nota: \ln\!\left(\frac{99}{19}\right)>0, então k>0 como era esperado. Numericamente k\approx 0,0041267 (por pessoa·semana, na unidade usada pela equação).

Passo 9

Substituir k de volta e simplificar a expressão: observe que
e^{-100 k t}=e^{-100\cdot\frac{1}{400}\ln\!\left(\frac{99}{19}\right)\,t} = e^{-\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{99}{19}\right)\,t} = \left(\frac{99}{19}\right)^{-\frac{t}{4}} = \left(\frac{19}{99}\right)^{\frac{t}{4}}.
Portanto a solução final, já com k ajustado pela condição em t=4, fica
I(t)=\frac{100}{1+99\left(\dfrac{19}{99}\right)^{\frac{t}{4}}}.

Resposta

I(t)=\frac{100}{1+99\left(\dfrac{19}{99}\right)^{\frac{t}{4}}}

Exercícios relacionados