Num grupo de 100 pessoas, 1 está inicialmente infectada. A taxa de propagação do vírus é proporcional ao número de infectados e ao número de não infectados. Sabendo que após 4 semanas há 5 infectados, determine o número de infectados em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Total de pessoas no grupo:
. - Número inicial de infectados no tempo inicial:
. - A taxa de propagação do vírus é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de não infectados.
- Após
semanas, o número de infectados é . - Pergunta: determinar o número de infectados em função do tempo
(em semanas), ou seja, encontrar .
Passo 2
Modelagem diferencial (montando a equação): como a taxa de variação do número de infectados é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de não infectados, escribimos a equação diferencial
onde
é o número de infectados no tempo
e
é a constante de proporcionalidade (positiva). Aqui
é o total da população e
está em semanas.
Passo 3
Separação de variáveis e decomposição em frações parciais: queremos separar
e
. Escrevemos
Agora usamos a identidade (verifiquei fazendo soma de frações)
Essa identidade é útil porque transforma a integral em soma de logaritmos.
Passo 4
Integração dos dois lados: integrando em
e
obtemos
Usando a decomposição em frações parciais a integral do lado esquerdo dá
onde
é constante de integração. Podemos juntar os logaritmos:
Passo 5
Isolando
: multiplicamos por
e exponenciamos:
onde
. Resolvendo para
(fazer algebra):
Essa é a forma logística geral.
Passo 6
Determinar a constante
usando
: em
temos
Com
e
obtemos
Substituindo
na expressão logística obtemos uma forma conveniente:
Passo 7
Substituindo os valores numéricos conhecidos (
,
) temos
Passo 8
Determinar
usando a condição
: substituímos
na expressão anterior:
Isolando a exponencial:
Nota:
, então
como era esperado. Numericamente
(por pessoa·semana, na unidade usada pela equação).
Passo 9
Substituir
de volta e simplificar a expressão: observe que
Portanto a solução final, já com
ajustado pela condição em
, fica