Resolva os problemas abaixo:
y^{\prime}+3 t^{2} y=e^{-t^{3}+t}, y(0)=2,

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária com condição inicial
y'+3t^{2}y=e^{-t^{3}+t},\qquad y(0)=2.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação para todo t (no intervalo onde faz sentido) e que também verifica a condição inicial y(0)=2.

Passo 2

Reconhecemos que a equação é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
y'(t)+p(t)y(t)=g(t),
onde aqui p(t)=3t^{2} e g(t)=e^{-t^{3}+t}. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Ideia do método: escolher uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)y(t). Isso acontece quando \mu satisfaz \mu'(t)=p(t)\mu(t), cuja solução é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Aqui explicando cada símbolo: p(t) é o coeficiente que multiplica y, \mu(t) é o fator integrante e \exp é a função exponencial e^{(\cdot)}.

Passo 3

Calculemos o fator integrante para p(t)=3t^{2}:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 3t^{2}\,dt\Big)=\exp\big(t^{3}\big)=e^{t^{3}}.
Verificamos que \mu'(t)=3t^{2}e^{t^{3}}=p(t)\mu(t), como queríamos.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t^{3}}. O lado esquerdo fica a derivada de \mu(t)y(t):
e^{t^{3}}y' + 3t^{2}e^{t^{3}}y = \big(e^{t^{3}}y\big)'.
O lado direito fica
e^{t^{3}}\cdot e^{-t^{3}+t}=e^{t}.
Portanto obtemos a equação simples
\big(e^{t^{3}}y\big)'=e^{t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t^{3}}y=\int e^{t}\,dt = e^{t}+C,
onde C é constante de integração. Isolando y,
y(t)=\big(e^{t}+C\big)e^{-t^{3}}=e^{t-t^{3}}+C e^{-t^{3}}.
Aqui expliquei: ao integrar \int e^{t}\,dt obtemos e^{t} porque a derivada de e^{t} é e^{t}.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0 em y(t)=e^{t-t^{3}}+C e^{-t^{3}} temos
y(0)=e^{0-0}+C e^{0}=1+C.
Como y(0)=2, segue 1+C=2, logo C=1.

Passo 7

Substituindo C=1 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(t)=e^{t-t^{3}}+e^{-t^{3}}.
Podemos também escrever de forma factorizada
y(t)=e^{-t^{3}}\big(1+e^{t}\big).

Resposta

y(t)=e^{t-t^{3}}+e^{-t^{3}} = e^{-t^{3}}\big(1+e^{t}\big)

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