Resolva os problemas abaixo:
,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária com condição inicial
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz essa equação para todo
(no intervalo onde faz sentido) e que também verifica a condição inicial
.
Passo 2
Reconhecemos que a equação é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
onde aqui
e
. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Ideia do método: escolher uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Isso acontece quando
satisfaz
, cuja solução é
Aqui explicando cada símbolo:
é o coeficiente que multiplica
,
é o fator integrante e
é a função exponencial
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante para
:
Verificamos que
, como queríamos.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. O lado esquerdo fica a derivada de
:
O lado direito fica
Portanto obtemos a equação simples
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Isolando
,
Aqui expliquei: ao integrar
obtemos
porque a derivada de
é
.
Passo 6
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
em
temos
Como
, segue
, logo
.
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Podemos também escrever de forma factorizada