Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. Selecionando pessoas deste grupo, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar de modo que cada comissão seja constituída de 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado?

Passo 1

Então, temos um grupo de 15 pessoas divididas em 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. A gente precisa descobrir de quantas maneiras podemos formar uma comissão de 5 pessoas que inclua exatamente 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações, que ajudam a contar de quantas formas podemos selecionar grupos sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas formas existem de escolher 2 médicos entre os 5 disponíveis. A fórmula das combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 5 $ (médicos) e $ k = 2 $.
n = 5
Então, temos 10 maneiras de escolher 2 médicos.

Passo 3

Agora, vamos ver quantas maneiras existem de escolher 2 engenheiros entre os 7 disponíveis.
C(7, 2) = 7!2!(7 - 2)! = 7 times 62 times 1 = 21
Portanto, há 21 maneiras de selecionar 2 engenheiros.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular de quantas formas podemos escolher 1 advogado entre os 3 disponíveis.
C(3, 1) = 3!1!(3 - 1)! = 31 = 3
Assim, temos 3 maneiras de escolher 1 advogado.

Passo 5

Para encontrar o total de comissões possíveis que atendam aos critérios, multiplicamos o número de maneiras de escolher médicos, engenheiros e advogados:
Total = C(5, 2) times C(7, 2) times C(3, 1) = 10 times 21 times 3 = 630

Resposta

Podemos formar 630 comissões diferentes com 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado.

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