Uma urna contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Admitindo probabilidades iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:
Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com 100 bolinhas numeradas de 1 a 100 e que cada bolinha tem probabilidade igual de ser escolhida. A pergunta é: qual a probabilidade de observarmos uma bolinha cujo número seja múltiplo de 6 ou múltiplo de 8? \n
Informações relevantes dadas:
\text{Universo} = \{1,2,\dots,100\},\qquad \text{total de casos possíveis} = 100.í

Passo 2

Vamos lembrar a ideia básica de probabilidade que vamos usar: quando todos os resultados são equiprováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú
Aqui precisamos contar quantos números de 1 a 100 são múltiplos de 6 ou múltiplos de 8. Para isso usaremos a técnica de contagem com a regra da inclusão-exclusão (explico em detalhe nos próximos passos).

Passo 3

Contagem dos múltiplos de 6. Um número n é múltiplo de 6 se existe inteiro k tal que n=6k. Entre 1 e 100 os valores possíveis de k são os inteiros positivos tais que 6k\le100. O maior k é \left\lfloor\frac{100}{6}\right\rfloor. Calculando:
\left\lfloor\frac{100}{6}\right\rfloor = \left\lfloor 16{,}666\ldots\right\rfloor = 16.
Portanto há 16 múltiplos de 6 no intervalo 1 a 100.

Passo 4

Contagem dos múltiplos de 8. De forma análoga, um número n é múltiplo de 8 se n=8k e 8k\le100. O número de tais k é \left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor. Calculando:
\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor = \left\lfloor 12{,}5\right\rfloor = 12.
Portanto há 12 múltiplos de 8 no intervalo 1 a 100.

Passo 5

Contagem dos números que são múltiplos de 6 e de 8 ao mesmo tempo (a interseção). Um número é múltiplo de ambos se for múltiplo do mínimo múltiplo comum de 6 e 8, isto é, do \operatorname{mcm}(6,8). Vamos encontrar \operatorname{mcm}(6,8). \n
Fatorando: 6=2\cdot3 e 8=2^3. Para o \operatorname{mcm} pegamos fatores com maior expoente: 2^3 e 3, então
\operatorname{mcm}(6,8)=2^3\cdot3=8\cdot3=24.
Agora contamos múltiplos de 24 até 100:
\left\lfloor\frac{100}{24}\right\rfloor = \left\lfloor 4{,}166\ldots\right\rfloor = 4.
Logo há 4 números que são múltiplos de 6 e de 8 simultaneamente (são 24,48,72,96; aqui eu peguei esses valores observando que 24\cdot1,24\cdot2,24\cdot3,24\cdot4 estão ≤ 100).

Passo 6

Aplicando a regra da inclusão-exclusão para contar quantos números são múltiplos de 6 ou de 8:
\text{favoráveis} = \#(\text{múltiplos de }6)+\#(\text{múltiplos de }8)-\#(\text{múltiplos de }24).áúúú
Substituindo os valores que contamos:
\text{favoráveis} = 16 + 12 - 4 = 24.á
Portanto existem 24 números entre 1 e 100 que são múltiplos de 6 ou de 8.

Passo 7

Agora calculamos a probabilidade usando a fórmula do Passo 2:
P(\text{múltiplo de }6\text{ ou }8)=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{24}{100}.úá
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{24}{100}=\frac{6}{25}.
Como decimal isso é 0,24. Fica legal memorizar: 24 casos favoráveis em 100 é 24\%.

Resposta

\displaystyle \frac{24}{100}=\frac{6}{25}=0,24

Exercícios relacionados