Uma urna contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Admitindo probabilidades iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:
Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8 ?
Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8 ?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma urna com 100 bolinhas numeradas de 1 a 100 e que cada bolinha tem probabilidade igual de ser escolhida. A pergunta é: qual a probabilidade de observarmos uma bolinha cujo número seja múltiplo de 6 ou múltiplo de 8? \n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos lembrar a ideia básica de probabilidade que vamos usar: quando todos os resultados são equiprováveis, a probabilidade de um evento é
Aqui precisamos contar quantos números de
a
são múltiplos de
ou múltiplos de
. Para isso usaremos a técnica de contagem com a regra da inclusão-exclusão (explico em detalhe nos próximos passos).
Passo 3
Contagem dos múltiplos de
. Um número
é múltiplo de
se existe inteiro
tal que
. Entre
e
os valores possíveis de
são os inteiros positivos tais que
. O maior
é
. Calculando:
Portanto há
múltiplos de
no intervalo
a
.
Passo 4
Contagem dos múltiplos de
. De forma análoga, um número
é múltiplo de
se
e
. O número de tais
é
. Calculando:
Portanto há
múltiplos de
no intervalo
a
.
Passo 5
Contagem dos números que são múltiplos de
e de
ao mesmo tempo (a interseção). Um número é múltiplo de ambos se for múltiplo do mínimo múltiplo comum de
e
, isto é, do
. Vamos encontrar
. \n
Fatorando: e
. Para o
pegamos fatores com maior expoente:
e
, então
Fatorando:
Agora contamos múltiplos de
até
:
Logo há
números que são múltiplos de
e de
simultaneamente (são
; aqui eu peguei esses valores observando que
estão ≤
).
Passo 6
Aplicando a regra da inclusão-exclusão para contar quantos números são múltiplos de
ou de
:
Substituindo os valores que contamos:
Portanto existem
números entre
e
que são múltiplos de
ou de
.
Passo 7
Agora calculamos a probabilidade usando a fórmula do Passo 2:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Como decimal isso é
. Fica legal memorizar:
casos favoráveis em
é
.