Um colégio possui duas salas,
e
, de determinada série. Na sala A, estudam 20 alunos e na B, 30 alunos. Dois amigos, Pedro e João, estudam na sala A. Um aluno é sorteado da sala A e transferido para a sala B. Posteriormente, um aluno é sorteado e transferido da sala B para a sala A.
a) No primeiro sorteio, qual a probabilidade de qualquer um dos dois amigos ser transferido da sala A para a B?
b) Qual a probabilidade, no final das transferências, de os amigos ficarem na mesma sala?
a) No primeiro sorteio, qual a probabilidade de qualquer um dos dois amigos ser transferido da sala A para a B?
b) Qual a probabilidade, no final das transferências, de os amigos ficarem na mesma sala?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações:
- A sala
tem alunos inicialmente. - A sala
tem alunos inicialmente. - Pedro e João (dois amigos) estão ambos na sala
no início. - Primeiro sorteio: um aluno é escolhido aleatoriamente de
e transferido para . - Segundo sorteio: depois disso, um aluno é escolhido aleatoriamente de
e transferido para .
- A sala
-
Perguntas:
a) Qual a probabilidade, no primeiro sorteio, de que qualquer um dos dois amigos seja transferido depara ?
b) Qual a probabilidade, ao final das duas transferências, de os dois amigos ficarem na mesma sala?
Passo 2
Resolvendo a pergunta (a): pensar em probabilidade básica por contagem de casos favoráveis sobre casos totais.
Na primeira extração (da sala ) há
alunos igualmente prováveis de serem sorteados, e os dois amigos formam os casos favoráveis (qualquer um dos dois). Logo a probabilidade pedida é
Na primeira extração (da sala
Explicação rápida: número de formas favoráveis =
, total =
, então
.
Passo 3
Para (b) vamos usar probabilidade condicionada e a lei da probabilidade total. Ideia: condicionamos no evento de que, no primeiro sorteio, tenha sido transferido um amigo (evento
) ou não (evento
). Assim
Vou calcular cada termo passo a passo.
Passo 4
Calcular
e
.
Aqui
= "um dos dois amigos foi transferido de
para
" no primeiro sorteio.
Passo 5
Calcular
: suponha que no primeiro sorteio um amigo foi para
. Depois desse movimento temos:
-
passa a ter alunos (fica 1 dos amigos em ), -
passa a ter alunos (o amigo transferido + os originais).
No segundo sorteio escolhe-se um aluno de
(entre 31) para voltar a
. Para que, no final, os dois amigos fiquem na mesma sala, é preciso que esse sorteio escolha exatamente o amigo que estava em
(ele retorna para
), resultado: ambos em
. Se outro aluno de
for escolhido, os amigos ficarão em salas diferentes. Portanto
Passo 6
Calcular
: suponha que no primeiro sorteio não saiu nenhum amigo (foi um não-amigo). Então após o primeiro sorteio:
-
tem alunos, mas ainda os dois amigos permanecem em , -
tem alunos e nenhum amigo.
No segundo sorteio tira-se alguém de
(que é necessariamente não-amigo) e o traz para
. Assim os dois amigos nunca saíram de
e continuam juntos em
. Logo
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade total:
Substituindo
e
,
Podemos também dar uma aproximação decimal:
, ou seja cerca de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)