Um colégio possui duas salas, A e B, de determinada série. Na sala A, estudam 20 alunos e na B, 30 alunos. Dois amigos, Pedro e João, estudam na sala A. Um aluno é sorteado da sala A e transferido para a sala B. Posteriormente, um aluno é sorteado e transferido da sala B para a sala A.
a) No primeiro sorteio, qual a probabilidade de qualquer um dos dois amigos ser transferido da sala A para a B?
b) Qual a probabilidade, no final das transferências, de os amigos ficarem na mesma sala?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações:
    • A sala A tem 20 alunos inicialmente.
    • A sala B tem 30 alunos inicialmente.
    • Pedro e João (dois amigos) estão ambos na sala A no início.
    • Primeiro sorteio: um aluno é escolhido aleatoriamente de A e transferido para B.
    • Segundo sorteio: depois disso, um aluno é escolhido aleatoriamente de B e transferido para A.
  • Perguntas:
    a) Qual a probabilidade, no primeiro sorteio, de que qualquer um dos dois amigos seja transferido de A para B?
    b) Qual a probabilidade, ao final das duas transferências, de os dois amigos ficarem na mesma sala?

Passo 2

Resolvendo a pergunta (a): pensar em probabilidade básica por contagem de casos favoráveis sobre casos totais.
Na primeira extração (da sala A) há 20 alunos igualmente prováveis de serem sorteados, e os dois amigos formam os casos favoráveis (qualquer um dos dois). Logo a probabilidade pedida é
\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.
Explicação rápida: número de formas favoráveis = 2, total = 20, então 2/20.

Passo 3

Para (b) vamos usar probabilidade condicionada e a lei da probabilidade total. Ideia: condicionamos no evento de que, no primeiro sorteio, tenha sido transferido um amigo (evento E) ou não (evento E^c). Assim
P(\text{mesma sala final})=P(E)\,P(\text{mesma sala final}\mid E)+P(E^c)\,P(\text{mesma sala final}\mid E^c).
Vou calcular cada termo passo a passo.

Passo 4

Calcular P(E) e P(E^c).
P(E)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10},\qquad P(E^c)=1-P(E)=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}.
Aqui E = "um dos dois amigos foi transferido de A para B" no primeiro sorteio.

Passo 5

Calcular P(\text{mesma sala final}\mid E): suponha que no primeiro sorteio um amigo foi para B. Depois desse movimento temos:
  • A passa a ter 19 alunos (fica 1 dos amigos em A),
  • B passa a ter 31 alunos (o amigo transferido + os 30 originais).
No segundo sorteio escolhe-se um aluno de B (entre 31) para voltar a A. Para que, no final, os dois amigos fiquem na mesma sala, é preciso que esse sorteio escolha exatamente o amigo que estava em B (ele retorna para A), resultado: ambos em A. Se outro aluno de B for escolhido, os amigos ficarão em salas diferentes. Portanto
P(\text{mesma sala final}\mid E)=\frac{1}{31}.

Passo 6

Calcular P(\text{mesma sala final}\mid E^c): suponha que no primeiro sorteio não saiu nenhum amigo (foi um não-amigo). Então após o primeiro sorteio:
  • A tem 19 alunos, mas ainda os dois amigos permanecem em A,
  • B tem 31 alunos e nenhum amigo.
No segundo sorteio tira-se alguém de B (que é necessariamente não-amigo) e o traz para A. Assim os dois amigos nunca saíram de A e continuam juntos em A. Logo
P(\text{mesma sala final}\mid E^c)=1.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade total:
P(\text{mesma sala final})=P(E)\cdot\frac{1}{31}+P(E^c)\cdot 1.
Substituindo P(E)=\frac{1}{10} e P(E^c)=\frac{9}{10},
P(\text{mesma sala final})=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{31}+\frac{9}{10} =\frac{1}{310}+\frac{279}{310} =\frac{280}{310}=\frac{28}{31}.
Podemos também dar uma aproximação decimal: \frac{28}{31}\approx 0{,}9032, ou seja cerca de 90{,}3\%.

Resposta

(a) \dfrac{1}{10}
(b) \dfrac{28}{31}

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