Uma indústria farmacêutica fez uma estimativa da eficiência de um medicamento para o tratamento de determinada doença, ministrandoo a um grande número de pessoas portadoras dessa doença. Os resultados obtidos, classificados em três categorias: Cura, Melhora ( mas não cura total) e Nenhuma alteração, são mostrados na tabela a seguir.
Resultado \mathbf{\%} Probabilidade
Cura 70 0,7
Melhora 20 0,2
Nenhuma alteração 10 0,1
Considere a experiência aleatória que consiste em selecionar quatro pessoas portadoras da doença, ministrar-Ihes o medicamento e determinar em que categoria o resultado se enquadra. Sendo p a probabilidade da 1^{\underline{\mathrm{a}}} pessoa apresentar melhora, a 2^{\underline{\mathrm{a}}} e a 3^{\underline{\mathrm{a}}} não terem qualquer alteração e a 4^{\underline{\mathrm{a}}} ser curada, calcule \mathrm{p} \cdot 10^{4}.

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades dos três resultados quando o medicamento é ministrado a uma pessoa: Cura com probabilidade \,0,7, Melhora com probabilidade \,0,2 e Nenhuma alteração com probabilidade \,0,1. A experiência aleatória é: selecionar quatro pessoas, aplicar o medicamento e anotar o resultado de cada uma.
A pergunta é: sendo p a probabilidade do evento “a 1^{\underline{\mathrm{a}}} pessoa apresentar Melhora, a 2^{\underline{\mathrm{a}}} e a 3^{\underline{\mathrm{a}}} não terem qualquer alteração e a 4^{\underline{\mathrm{a}}} ser curada”, calcule p\cdot 10^{4}.
Informações relevantes listadas:
  • P(\text{Cura}) = 0,7.
  • P(\text{Melhora}) = 0,2.
  • P(\text{Nenhuma alteração}) = 0,1çã.
  • A sequência de eventos desejada é: 1ª = Melhora, 2ª = Nenhuma alteração, 3ª = Nenhuma alteração, 4ª = Cura.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para eventos independentes. Explicando devagar e com carinho: quando temos várias experiências independentes (a situação “aplicar o medicamento a pessoas diferentes” é um caso típico), a probabilidade de ocorrer uma sequência específica de resultados é o produto das probabilidades de cada resultado individual.
Se chamarmos de A_1 o evento “1ª pessoa tem Melhora”, A_2 o evento “2ª pessoa tem Nenhuma alteração”, A_3 o evento “3ª pessoa tem Nenhuma alteração” e A_4 o evento “4ª pessoa tem Cura”, então, por independência,
P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)\cdot P(A_4).
Aqui cada P(A_i) é conhecido a partir da tabela do enunciado.

Passo 3

Escrevendo a expressão para p com os valores dados:
p = P(\text{1ª = Melhora})\cdot P(\text{2ª = Nenhuma})\cdot P(\text{3ª = Nenhuma})\cdot P(\text{4ª = Cura})ªªªª
p = 0,2 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,7.

Passo 4

Agora calculamos p. Uma forma bem direta é converter os decimais em frações para facilitar a multiplicação sem calculadora:
0,2=\tfrac{2}{10}=\tfrac{1}{5},\qquad 0,1=\tfrac{1}{10},\qquad 0,7=\tfrac{7}{10}.
Logo
p = \tfrac{1}{5}\cdot \tfrac{1}{10}\cdot \tfrac{1}{10}\cdot \tfrac{7}{10} = \tfrac{7}{5\cdot 10\cdot 10\cdot 10} = \tfrac{7}{5000}.
Convertendo \tfrac{7}{5000} em decimal: 5000 tem três zeros a mais que 5, então
p = 0,0014.
(Outra maneira mental: multiplicando decimais diretamente, 0,2\cdot 0,1=0,02; 0,02\cdot 0,1=0,002; 0,002\cdot 0,7=0,0014.)

Passo 5

Agora multiplicamos por 10^{4}. Multiplicar por 10^{4} é deslocar a vírgula quatro casas para a direita:
p\cdot 10^{4} = 0,0014 \cdot 10^{4} = 14.

Passo 6

Dica rápida para a prova: transformar decimais em frações simples ou contar casas decimais ao multiplicar evita erros e torna os cálculos feitos de cabeça mais seguros. Força aí — você já resolveu a parte chata, falta pouco!

Resposta

14

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