Um professor fez uma pesquisa em sala de aula sobre o tempo de deslocamento diário dos alunos até a escola, foram registrados os seguintes dados (em minutos): 20, 25, 30, 30, 35, 40, 45
Com base nesses dados, assinale a alternativa correta:
A A média é inferior à mediana, indicando que a maioria dos alunos leva mais tempo que o valor médio.
B A moda representa o tempo mais frequente e, neste caso, coincide com a média.
C A mediana é 30 minutos, o que indica que esse é o valor central da distribuição dos tempos registrados.
D A média é 35 minutos, o que indica que todos os alunos levam esse tempo para chegar à escola.
E A moda é 25 minutos, pois é o menor valor da amostra.
A A média é inferior à mediana, indicando que a maioria dos alunos leva mais tempo que o valor médio.
Passo 1
O enunciado dá os tempos (em minutos) observados:
.
Pede-se identificar qual alternativa (A, B, C, D ou E) é correta com base nesses dados.
Pede-se identificar qual alternativa (A, B, C, D ou E) é correta com base nesses dados.
Informações relevantes fornecidas:
- A amostra tem
observações: . - As alternativas falam sobre média, mediana e moda — portanto vamos calcular esses três resumos estatísticos e interpretar o que cada alternativa afirma.
Passo 2
Calcular a média (valor médio) da amostra.
Definição breve e fórmula: a média aritmética de valores
é
Definição breve e fórmula: a média aritmética de
Aqui
e os valores são os dados da amostra. Vamos somar cuidadosamente:
Logo a média é
Podemos escrever em forma decimal aproximada:
(uso a vírgula para separador decimal:
.)
Passo 3
Calcular a mediana.
Definição breve: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se o número de observações for ímpar, a mediana é o elemento na posição
.
Aqui os dados já estão ordenados e (ímpar), então a posição central é
Definição breve: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se o número de observações
Aqui os dados já estão ordenados e
Logo a mediana é o
-º valor da lista ordenada. A lista é
, então o
-º termo é
.
Portanto a mediana é minutos.
Portanto a mediana é
Passo 4
Calcular a moda.
Definição breve: a moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra.
Contagem de ocorrências:
Definição breve: a moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra.
Contagem de ocorrências:
-
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez, -
aparece 2 vezes, -
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez.
O valor mais frequente é
(aparece
vezes, mais que qualquer outro). Portanto a moda é
minutos.
Passo 5
Interpretar e verificar a alternativa A: “A média é inferior à mediana, indicando que a maioria dos alunos leva mais tempo que o valor médio.”
Comparando os valores que calculamos:
Comparando os valores que calculamos:
Aqui a média é maior que a mediana (não inferior). Logo a primeira parte da alternativa A é falsa. Além disso, mesmo que a média fosse inferior à mediana, a frase “indicando que a maioria dos alunos leva mais tempo que o valor médio” requereria checar a distribuição; mas já bastou ver que a comparação média vs mediana está invertida. Portanto A é falsa.
Passo 6
Verificar a alternativa B: “A moda representa o tempo mais frequente e, neste caso, coincide com a média.”
A primeira parte está correta em princípio: moda é o tempo mais frequente. Porém no caso temos moda e média
; eles não coincidem. Portanto B é falsa.
A primeira parte está correta em princípio: moda é o tempo mais frequente. Porém no caso temos moda
Passo 7
Verificar a alternativa C: “A mediana é 30 minutos, o que indica que esse é o valor central da distribuição dos tempos registrados.”
Calculamos a mediana e obtivemos exatamente minutos. A mediana realmente é o valor central da lista ordenada (posição
de
). A frase afirma isso corretamente. Portanto C é verdadeira.
Calculamos a mediana e obtivemos exatamente
Passo 8
Verificar a alternativa D: “A média é 35 minutos, o que indica que todos os alunos levam esse tempo para chegar à escola.”
Nós encontramos , não
. Além disso, mesmo se a média fosse
, a média não indica que todos os indivíduos têm exatamente esse tempo; ela é apenas um valor médio. Logo a alternativa D está errada em ambos os sentidos. D é falsa.
Nós encontramos
Passo 9
Verificar a alternativa E: “A moda é 25 minutos, pois é o menor valor da amostra.”
Moda é o valor mais frequente, não o menor valor. No conjunto, o menor valor é , e
aparece apenas 1 vez; a moda é
. Portanto E é falsa.
Moda é o valor mais frequente, não o menor valor. No conjunto, o menor valor é
Passo 10
Conclusão: entre as alternativas, apenas a alternativa C está correta: a mediana realmente é
minutos e isso significa que
é o valor central da amostra ordenada.
Resposta
C