Um grupo de amigos decidiu acampar em local próximo a uma das cachoeiras da cidade de Bonito. Planejam utilizar uma barraca feita de tecido impermeável no formato de pirâmide regular quadrangular, com medidas da aresta da base de 2 m e altura √2 m. Considerando que a barraca deve isolar o grupo de toda umidade, inclusive a proveniente do solo, quantos metros quadrados de tecido são necessários?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular quantos metros quadrados de tecido são necessários para a barraca em forma de pirâmide regular quadrangular. O que isso significa? Que a base da pirâmide é um quadrado e todos os lados da base e as faces laterais são iguais. Vamos precisar de conhecimentos de geometria sobre áreas de poliedros, especialmente de pirâmides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que compõe a área total da barraca. A área total é a soma da área da base com a área das faces laterais. Como a base é um quadrado com aresta de 2 metros, a área da base é:
Área da base = lado^2 = 2^2 = 4 , m² Á²

Passo 3

Agora, precisamos calcular a área das faces laterais. Como a pirâmide é regular e quadrangular, ela tem quatro triângulos iguais como faces laterais. Para encontrar a área de cada triângulo, precisamos saber a altura de cada face lateral, que chamamos de apotema ou altura lateral.

Passo 4

Dado que a altura da pirâmide (a distância do vértice até o centro da base) é raiz2 metros e a aresta da base é 2 metros, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura lateral. Imagine um triângulo formado pela altura da pirâmide, metade da aresta da base e a altura lateral:
a

Passo 5

Agora que temos a altura lateral ( raiz3 metros), podemos calcular a área de uma face triangular:
Área de um triângulo = base times aÁâ²
Como são quatro faces laterais iguais, a área total das faces laterais é:
Área total das faces laterais = 4 times raiz3 = 4raiz3 , m² Á²

Passo 6

Finalmente, somamos a área da base com a área das faces laterais para obter a área total do tecido necessário:
Área total = Área da base + Área das faces laterais = 4 + 4raiz3 approx 4 + 6,928 = 10,928 , m² ÁÁÁ²

Resposta

São necessários aproximadamente 10,928 , m²² de tecido para a barraca.

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