Um grupo de cientistas sociais está avaliando o impacto de uma nova metodologia participativa em comunidades urbanas. Para mensurar o engajamento dos moradores, foi aplicada uma escala padronizada de participação social (variando de 0 a 100 pontos).
Em uma amostra aleatória de 20 participantes que utilizaram a metodologia por 8 semanas, obteve-se:
  • média =68,5 pontos
  • desvio padrão amostral =8,4 pontos
Admita que a pontuação tem distribuição aproximadamente normal na população. Com base nesses dados, construa um intervalo de confiança de 99% para a média populacional da pontuação dos participantes.
a) Apresente a fórmula utilizada e justifique a escolha da estatística ( Z ou t).
b) Calcule os limites inferior e superior do intervalo de confiança.
c) Interprete o resultado no contexto da participação social.
d) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir que, com 99 \% de confiança, a margem de erro na estimativa da média populacional seja, no máximo, 3 pontos?
Interprete.

Passo 1

O problema dá uma amostra aleatória de tamanho n=20 com:
  • média amostral \bar{x}=68,5 pontos (peguei este número do enunciado);
  • desvio padrão amostral s=8,4 pontos (peguei este número do enunciado).
O enunciado pede quatro coisas:
a) apresentar a fórmula do intervalo de confiança e justificar se usa Z ou t;
b) calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança de 99\% para a média populacional;
c) interpretar o intervalo no contexto da participação social;
d) dizer qual tamanho de amostra é necessário para que, com 99\% de confiança, a margem de erro seja no máximo 3 pontos (e interpretar).

Passo 2

Por que usar t ou Z? Vamos entender isso com calma e sem pressa.
Quando queremos um intervalo de confiança para a média populacional \mu, usamos uma estatística central que depende de duas coisas:
  • se a variância populacional \sigma^2 é conhecida ou não;
  • e o tamanho da amostra n.
Se \sigma fosse conhecida, a estatística padronizada seria baseada em Z (distribuição normal padrão). Mas aqui \sigma é desconhecida e só temos s, o desvio padrão da amostra. Além disso a amostra é relativamente pequena ( n=20). Nesses casos, a estatística correta para construir o intervalo é a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Portanto vamos usar t com df=19.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (resumão didático):
  • A fórmula geral do intervalo de confiança para a média, quando \sigma é desconhecida, é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=68,5);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=8,4);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=20);
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade correspondente à probabilidade cumulativa 1-\alpha/2;
  • o nível de confiança 1-\alpha é 99\%, logo \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
Breve explicação do que cada termo faz:
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral varia em torno da média populacional em média);
  • o fator t_{1-\alpha/2,\,n-1} amplia o erro padrão para cobrir a incerteza com a confiança desejada; quanto maior a confiança, maior esse fator.

Passo 4

Calcular o quantil t necessário:
  • Queremos t_{1-\alpha/2,\,n-1}=t_{0{,}995,\,19} (porque 1-\alpha/2=0{,}995 e n-1=19).
  • Pela tabela da t de Student (ou calculadora estatística), o valor é aproximadamente
t_{0{,}995,\,19}\approx 2{,}861.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média e a margem de erro:
  • O erro padrão (SE) é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8{,}4}{\sqrt{20}}.
Calculemos passo a passo:
\sqrt{20}\approx 4{,}4721, \qquad \mathrm{SE}\approx \frac{8{,}4}{4{,}4721}\approx 1{,}879.
  • A margem de erro E é
E=t_{0{,}995,\,19}\times\mathrm{SE}\approx 2{,}861\times 1{,}879\approx 5{,}374.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança:
\bar{x}\pm E = 68{,}5 \pm 5{,}374.
Logo os limites são:
\text{limite inferior} = 68{,}5 - 5{,}374 \approx 63{,}126,
\text{limite superior} = 68{,}5 + 5{,}374 \approx 73{,}874.
Arredondando bem para uma casa decimal (prática comum em relatórios):
\text{IC }99\% \text{ para } \mu \approx (63{,}1;\;73{,}9).

Passo 7

Interpretação do resultado (parte c) — como explicar isso num enunciado de prova ou relatório:
  • Dizemos: “Com 99\% de confiança, a média populacional da pontuação de participação social dos participantes submetidos à metodologia está entre aproximadamente 63{,}1 e 73{,}9 pontos.”
  • Em palavras mais amigáveis: se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos muitos intervalos do mesmo tipo, cerca de 99\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu. Aqui, com os números observados, a estimativa pontual é 68{,}5 e estamos bastante confiantes (nível 99\%) de que a média real está entre 63{,}1 e 73{,}9.

Passo 8

Parte d) — tamanho de amostra necessário para margem de erro máxima E_{\max}=3 pontos com 99\% de confiança.
Explicação do método: para planejar n normalmente usamos a fórmula (quando usamos uma estimativa de s como proxy de \sigma):
n \approx \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,s}{E_{\max}}\right)^2,
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Usamos z aqui porque, ao planejar n, ainda não sabemos n para usar t; é comum usar z com uma estimativa piloto de s (aqui temos s=8{,}4) e depois arredondar para cima. Se quisermos ser mais exato podemos fazer uma iteração usando t, começando por esse valor. Vou mostrar os dois procedimentos: aproximação com z e iteração com t.
  1. Aproximação com z:
  • Para 99\% de confiança, z_{0{,}995}\approx 2{,}576.
n \approx \left(\frac{2{,}576 \times 8{,}4}{3}\right)^2.
Calcule:
2{,}576\times 8{,}4 \approx 21{,}637, \qquad \frac{21{,}637}{3}\approx 7{,}212,
n \approx 7{,}212^2 \approx 52{,}0.
Arredondando para cima (sempre arredondar para cima em tamanho de amostra): n=53.
  1. Iteração usando t (um pouco mais rigorosa):
  • Começa-se com n_0=53. Então df=52 e t_{0{,}995,52}\approx 2{,}678 (valor de tabela).
  • Recalcula-se
n_1=\left(\frac{2{,}678\times 8{,}4}{3}\right)^2 \approx \left(\frac{22{,}495}{3}\right)^2 \approx 7{,}498^2 \approx 56{,}2,
arredondando para cima dá n_1=57.
  • Com n=57 já, df=56 e t_{0{,}995,56} fica muito próximo de 2{,}672; se recalcular novamente o n o valor se estabiliza em torno de 56- 57. Arredondando para cima, a resposta conservadora é n=57.
Interpretação: para garantir margem de erro de no máximo 3 pontos com 99\% de confiança, usando como referência o desvio observado s=8{,}4, é prudente coletar cerca de 57 participantes (arredondando para cima). A aproximação com z sugeriu 53, mas o procedimento com t (mais conservador e realista quando n pequeno) recomenda 57.

Resposta

a) Fórmula: \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}
Justificativa: usar t de Student porque n=20 é pequeno e \sigma populacional é desconhecida (portanto df=19).\n
b) Intervalo de confiança 99\%: limite inferior \approx 63{,}1, limite superior \approx 73{,}9.\n
c) Interpretação: Com 99\% de confiança, a média populacional das pontuações de participação social está entre aproximadamente 63{,}1 e 73{,}9 pontos.\n
d) Tamanho de amostra requerido para E_{\max}=3: aproximadamente n=57 participantes (arredondando para cima; aproximação com z daria n=53, mas a versão iterada com t indica 57, que é a recomendação conservadora).

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