Um grupo de cientistas sociais está avaliando o impacto de uma nova metodologia participativa em comunidades urbanas. Para mensurar o engajamento dos moradores, foi aplicada uma escala padronizada de participação social (variando de 0 a 100 pontos).
Em uma amostra aleatória de 20 participantes que utilizaram a metodologia por 8 semanas, obteve-se:
- média
pontos
- desvio padrão amostral
pontos
Admita que a pontuação tem distribuição aproximadamente normal na população. Com base nesses dados, construa um intervalo de confiança de 99% para a média populacional da pontuação dos participantes.
a) Apresente a fórmula utilizada e justifique a escolha da estatística ( Z ou t).
b) Calcule os limites inferior e superior do intervalo de confiança.
c) Interprete o resultado no contexto da participação social.
d) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir que, com
de confiança, a margem de erro na estimativa da média populacional seja, no máximo, 3 pontos?
Interprete.
Em uma amostra aleatória de 20 participantes que utilizaram a metodologia por 8 semanas, obteve-se:
a) Apresente a fórmula utilizada e justifique a escolha da estatística ( Z ou t).
b) Calcule os limites inferior e superior do intervalo de confiança.
c) Interprete o resultado no contexto da participação social.
d) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir que, com
Interprete.
Passo 1
O problema dá uma amostra aleatória de tamanho
com:
- média amostral
pontos (peguei este número do enunciado); - desvio padrão amostral
pontos (peguei este número do enunciado).
O enunciado pede quatro coisas:
a) apresentar a fórmula do intervalo de confiança e justificar se usa ou
;
b) calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança de para a média populacional;
c) interpretar o intervalo no contexto da participação social;
d) dizer qual tamanho de amostra é necessário para que, com de confiança, a margem de erro seja no máximo
pontos (e interpretar).
a) apresentar a fórmula do intervalo de confiança e justificar se usa
b) calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança de
c) interpretar o intervalo no contexto da participação social;
d) dizer qual tamanho de amostra é necessário para que, com
Passo 2
Por que usar
ou
? Vamos entender isso com calma e sem pressa.
Quando queremos um intervalo de confiança para a média populacional
, usamos uma estatística central que depende de duas coisas:
- se a variância populacional
é conhecida ou não; - e o tamanho da amostra
.
Se
fosse conhecida, a estatística padronizada seria baseada em
(distribuição normal padrão). Mas aqui
é desconhecida e só temos
, o desvio padrão da amostra. Além disso a amostra é relativamente pequena (
). Nesses casos, a estatística correta para construir o intervalo é a distribuição
de Student com
graus de liberdade. Portanto vamos usar
com
.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (resumão didático):
- A fórmula geral do intervalo de confiança para a média, quando
é desconhecida, é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade correspondente à probabilidade cumulativa ; - o nível de confiança
é , logo e .
Breve explicação do que cada termo faz:
-
é o erro padrão da média (quanto a média amostral varia em torno da média populacional em média); - o fator
amplia o erro padrão para cobrir a incerteza com a confiança desejada; quanto maior a confiança, maior esse fator.
Passo 4
Calcular o quantil
necessário:
- Queremos
(porque e ). - Pela tabela da
de Student (ou calculadora estatística), o valor é aproximadamente
Passo 5
Calcular o erro padrão da média e a margem de erro:
- O erro padrão (SE) é
Calculemos passo a passo:
- A margem de erro
é
Passo 6
Montar o intervalo de confiança:
Logo os limites são:
Arredondando bem para uma casa decimal (prática comum em relatórios):
Passo 7
Interpretação do resultado (parte c) — como explicar isso num enunciado de prova ou relatório:
- Dizemos: “Com
de confiança, a média populacional da pontuação de participação social dos participantes submetidos à metodologia está entre aproximadamente e pontos.” - Em palavras mais amigáveis: se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos muitos intervalos do mesmo tipo, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional . Aqui, com os números observados, a estimativa pontual é e estamos bastante confiantes (nível ) de que a média real está entre e .
Passo 8
Parte d) — tamanho de amostra necessário para margem de erro máxima
pontos com
de confiança.
Explicação do método: para planejar
normalmente usamos a fórmula (quando usamos uma estimativa de
como proxy de
):
onde
é o quantil da normal padrão. Usamos
aqui porque, ao planejar
, ainda não sabemos
para usar
; é comum usar
com uma estimativa piloto de
(aqui temos
) e depois arredondar para cima. Se quisermos ser mais exato podemos fazer uma iteração usando
, começando por esse valor. Vou mostrar os dois procedimentos: aproximação com
e iteração com
.
- Aproximação com
:
- Para
de confiança, .
Calcule:
Arredondando para cima (sempre arredondar para cima em tamanho de amostra):
.
- Iteração usando
(um pouco mais rigorosa):
- Começa-se com
. Então e (valor de tabela). - Recalcula-se
arredondando para cima dá
.
- Com
já, e fica muito próximo de ; se recalcular novamente o o valor se estabiliza em torno de - . Arredondando para cima, a resposta conservadora é .
Interpretação: para garantir margem de erro de no máximo
pontos com
de confiança, usando como referência o desvio observado
, é prudente coletar cerca de
participantes (arredondando para cima). A aproximação com
sugeriu
, mas o procedimento com
(mais conservador e realista quando
pequeno) recomenda
.
Resposta
a) Fórmula:
Justificativa: usar
de Student porque
é pequeno e
populacional é desconhecida (portanto
).\n
b) Intervalo de confiança : limite inferior
, limite superior
.\n
c) Interpretação: Com de confiança, a média populacional das pontuações de participação social está entre aproximadamente
e
pontos.\n
d) Tamanho de amostra requerido para : aproximadamente
participantes (arredondando para cima; aproximação com
daria
, mas a versão iterada com
indica
, que é a recomendação conservadora).
b) Intervalo de confiança
c) Interpretação: Com
d) Tamanho de amostra requerido para