O teste Weschler de QI é planejado de modo que a média seja 100 e o desvio padrão seja 15 para a população de adultos normais. Ache o tamanho de amostra necessário para estimar o escore de QI médio de estudantes de estatística. Desejamos ter 95% de confiança em que nossa média amostral esteja a menos de 2 pontos de QI do verdadeiro valor da média.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor específico:
- O teste Weschler tem desvio padrão populacional conhecido
. - Queremos um intervalo de confiança de
. - Desejamos que a média amostral esteja a menos de
pontos de QI do verdadeiro valor da média; isto é, a margem de erro desejada é .
A pergunta: qual o tamanho de amostra
necessário para garantir, com
de confiança, que o erro absoluto da estimativa da média seja no máximo
pontos?
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (fórmula do intervalo de confiança para média com desvio padrão populacional conhecido):
Explicando cada símbolo de forma bem direta:
-
é a margem de erro desejada (aqui ). -
é o quantil crítico da distribuição normal padrão correspondente à metade de (para de confiança, e é o valor tal que a área central seja ). -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Para
de confiança, temos
e
. O valor crítico correspondente é
que é o valor padrão da tabela da normal para área
à esquerda.
Passo 3
Isolamos
na fórmula. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Elevando ao quadrado:
Substituindo os valores conhecidos
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 4
Tamanho de amostra tem de ser um número inteiro. Para garantir que a margem de erro seja no máximo
, devemos arredondar
para cima (usar teto), porque um
menor que
não assegura a precisão desejada. Assim tomamos
Observação prática rápida: se não souber ou não quiser usar
, uma aproximação com
dá
, que é conservadora; mas o valor exato com
é
.
Passo 5
Resumo didático do raciocínio para a prova (pega leve, é sempre a mesma receita):
- Identifica-se
, o nível de confiança e . - Pega-se o
correspondente ao nível de confiança. - Usa-se
e resolve para . - Arredonda-se para cima para garantir a margem de erro requerida.
Força aí — com
você garante que, com
de confiança, a média amostral estará a menos de
pontos de QI da média verdadeira.
Resposta
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