O teste Weschler de QI é planejado de modo que a média seja 100 e o desvio padrão seja 15 para a população de adultos normais. Ache o tamanho de amostra necessário para estimar o escore de QI médio de estudantes de estatística. Desejamos ter 95% de confiança em que nossa média amostral esteja a menos de 2 pontos de QI do verdadeiro valor da média.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor específico:
  • O teste Weschler tem desvio padrão populacional conhecido \sigma = 15.
  • Queremos um intervalo de confiança de 95\%.
  • Desejamos que a média amostral esteja a menos de 2 pontos de QI do verdadeiro valor da média; isto é, a margem de erro desejada é E = 2.
A pergunta: qual o tamanho de amostra n necessário para garantir, com 95\% de confiança, que o erro absoluto da estimativa da média seja no máximo 2 pontos?

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (fórmula do intervalo de confiança para média com desvio padrão populacional conhecido):
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo de forma bem direta:
  • E é a margem de erro desejada (aqui E=2).
  • z_{\alpha/2} é o quantil crítico da distribuição normal padrão correspondente à metade de \alpha (para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{\alpha/2} é o valor tal que a área central seja 0,95).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=15).
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Para 95\% de confiança, temos \alpha = 0,05 e 1-\alpha/2 = 0,975. O valor crítico correspondente é
z_{\alpha/2} = z_{0,025} = 1{,}96,
que é o valor padrão da tabela da normal para área 0{,}975 à esquerda.

Passo 3

Isolamos n na fórmula. Partimos de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{n} e dividindo por E:
\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}.
Elevando ao quadrado:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Substituindo os valores conhecidos \;z_{\alpha/2}=1{,}96,\;\sigma=15,\;E=2:
n = \left(\frac{1{,}96 \times 15}{2}\right)^2.
Calcule passo a passo:
1{,}96\times 15 = 29{,}4,
\frac{29{,}4}{2} = 14{,}7,
14{,}7^2 = 216{,}09.
Portanto \;n = 216{,}09.

Passo 4

Tamanho de amostra tem de ser um número inteiro. Para garantir que a margem de erro seja no máximo 2, devemos arredondar n para cima (usar teto), porque um n menor que 216{,}09 não assegura a precisão desejada. Assim tomamos
n = 217.
Observação prática rápida: se não souber ou não quiser usar z=1{,}96, uma aproximação com z\approx 2 n\approx 225, que é conservadora; mas o valor exato com 1{,}96 é 217.

Passo 5

Resumo didático do raciocínio para a prova (pega leve, é sempre a mesma receita):
  • Identifica-se \sigma, o nível de confiança e E.
  • Pega-se o z_{\alpha/2} correspondente ao nível de confiança.
  • Usa-se E = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} e resolve para n.
  • Arredonda-se para cima para garantir a margem de erro requerida.
Força aí — com n=217 você garante que, com 95\% de confiança, a média amostral estará a menos de 2 pontos de QI da média verdadeira.

Resposta

217

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