De 1010 casos aleatoriamente selecionados de pacientes com síndrome de Down, 823 sobreviveram aos 30 anos de vida. Responda os itens a seguir.
a) Qual é o parâmetro populacional de interesse?
b) Forneça uma estimativa pontual para a proporção de indivíduos portadores da Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
Construa um intervalo de 99% para a proporção populacional de indivíduos portadores da Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos e responda:
c) Qual a margem de erro desse intervalo de confiança?
d) Qual é o limite inferior desse intervalo de confiança?
e) Qual é o limite superior desse intervalo de confiança?
a) Qual é o parâmetro populacional de interesse?
b) Forneça uma estimativa pontual para a proporção de indivíduos portadores da Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
Construa um intervalo de 99% para a proporção populacional de indivíduos portadores da Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos e responda:
c) Qual a margem de erro desse intervalo de confiança?
d) Qual é o limite inferior desse intervalo de confiança?
e) Qual é o limite superior desse intervalo de confiança?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
-
(tamanho da amostra). - Número de sobreviventes aos 30 anos:
.
-
-
O enunciado pede:
(a) Identificar o parâmetro populacional de interesse.
(b) Fornecer uma estimativa pontual para a proporção populacional de indivíduos com Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
(c) Construir um intervalo de confiança depara a proporção populacional e informar a margem de erro desse intervalo.
(d) Informar o limite inferior do intervalo.
(e) Informar o limite superior do intervalo.
Passo 2
Definir a estimativa pontual e apresentar sua expressão exata.
- O parâmetro populacional de interesse é a proporção
de indivíduos com Síndrome de Down que sobrevivem mais de 30 anos (isso responde o item (a)). - A estimativa pontual da proporção é a proporção amostral
, dada por
- Calcular o valor decimal de
:
Isto responde o item (b): a estimativa pontual é
.
Passo 3
Verificar as condições de validade do intervalo de confiança pela aproximação normal.
Para usar o intervalo de confiança baseado na aproximação normal é usual verificar se
e
são suficientemente grandes (regra prática:
ou
). Calcular:
Ambos são muito maiores que
, portanto a aproximação normal é apropriada.
Passo 4
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção e definir cada termo.
A fórmula do intervalo de confiança de nível de confiança
para a proporção é
Explicando cada símbolo:
-
é a proporção amostral (estimativa pontual). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para de confiança temos e , portanto usamos . -
é o erro-padrão da proporção amostral.
Para
de confiança, o valor crítico da normal padrão é aproximadamente
Passo 5
Calcular o erro-padrão detalhadamente.
Primeiro calcule
usando os números exatos da amostra (peguei
e
do enunciado):
Dividindo por
e extraindo raiz quadrada:
Passo 6
Calcular a margem de erro do intervalo de
.
A margem de erro é
Isto responde o item (c): a margem de erro é aproximadamente
(ou
).
Passo 7
Calcular os limites do intervalo de confiança (inferior e superior).
Aplicando
:
Portanto o intervalo de confiança de
para a proporção populacional é aproximadamente
Isso responde os itens (d) e (e).
Resposta
(a) A proporção populacional
de indivíduos com Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
(b)
(c) Margem de erro
(d) Limite inferior
(e) Limite superior
(b)
(c) Margem de erro
(d) Limite inferior
(e) Limite superior