De 1010 casos aleatoriamente selecionados de pacientes com síndrome de Down, 823 sobreviveram aos 30 anos de vida. Responda os itens a seguir.
a) Qual é o parâmetro populacional de interesse?
b) Forneça uma estimativa pontual para a proporção de indivíduos portadores da Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
Construa um intervalo de 99% para a proporção populacional de indivíduos portadores da Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos e responda:
c) Qual a margem de erro desse intervalo de confiança?
d) Qual é o limite inferior desse intervalo de confiança?
e) Qual é o limite superior desse intervalo de confiança?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • n=1010 (tamanho da amostra).
    • Número de sobreviventes aos 30 anos: X=823.
  • O enunciado pede:
    (a) Identificar o parâmetro populacional de interesse.
    (b) Fornecer uma estimativa pontual para a proporção populacional de indivíduos com Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
    (c) Construir um intervalo de confiança de 99\% para a proporção populacional e informar a margem de erro desse intervalo.
    (d) Informar o limite inferior do intervalo.
    (e) Informar o limite superior do intervalo.

Passo 2

Definir a estimativa pontual e apresentar sua expressão exata.
  • O parâmetro populacional de interesse é a proporção p de indivíduos com Síndrome de Down que sobrevivem mais de 30 anos (isso responde o item (a)).
  • A estimativa pontual da proporção é a proporção amostral \hat p, dada por
\hat p=\frac{X}{n}=\frac{823}{1010}.
  • Calcular o valor decimal de \hat p:
\hat p=\frac{823}{1010}\approx 0,81485.
Isto responde o item (b): a estimativa pontual é \hat p\approx0,81485.

Passo 3

Verificar as condições de validade do intervalo de confiança pela aproximação normal.
Para usar o intervalo de confiança baseado na aproximação normal é usual verificar se n\hat p e n(1-\hat p) são suficientemente grandes (regra prática: \ge 5 ou \ge 10). Calcular:
n\hat p = 1010\cdot\frac{823}{1010}=823, \qquad n(1-\hat p)=1010-823=187.
Ambos são muito maiores que 10, portanto a aproximação normal é apropriada.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção e definir cada termo.
A fórmula do intervalo de confiança de nível de confiança 1-\alpha para a proporção é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \hat p é a proporção amostral (estimativa pontual).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para 99\% de confiança temos \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005, portanto usamos z_{0,005}.
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro-padrão da proporção amostral.
Para 99\% de confiança, o valor crítico da normal padrão é aproximadamente
z_{0,005}\approx 2,5758.

Passo 5

Calcular o erro-padrão detalhadamente.
Primeiro calcule \hat p(1-\hat p) usando os números exatos da amostra (peguei 823 e 1010 do enunciado):
\hat p(1-\hat p)=\frac{823}{1010}\left(1-\frac{823}{1010}\right)=\frac{823\cdot187}{1010^2}=\frac{153901}{1020100}\approx 0,150869.
Dividindo por n e extraindo raiz quadrada:
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\frac{153901}{1020100}\cdot\frac{1}{1010}=\frac{153901}{1030301000}\approx 0,000149372,
\text{erro-padrão }SE=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\approx\sqrt{0,000149372}\approx 0,012219.ã

Passo 6

Calcular a margem de erro do intervalo de 99\%.
A margem de erro é
E = z_{0,005}\cdot SE \approx 2,5758\cdot 0,012219 \approx 0,03148.
Isto responde o item (c): a margem de erro é aproximadamente 0,03148 (ou 3,148\%).

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança (inferior e superior).
Aplicando \hat p \pm E:
\text{limite inferior}=\hat p - E \approx 0,81485 - 0,03148 \approx 0,78337,
\text{limite superior}=\hat p + E \approx 0,81485 + 0,03148 \approx 0,84633.
Portanto o intervalo de confiança de 99\% para a proporção populacional é aproximadamente
\bigl(0,78337,\;0,84633\bigr).
Isso responde os itens (d) e (e).

Resposta

(a) A proporção populacional p de indivíduos com Síndrome de Down que vivem mais de 30 anos.
(b) \hat p=\dfrac{823}{1010}\approx 0,81485
(c) Margem de erro E\approx 0,03148
(d) Limite inferior \approx 0,78337
(e) Limite superior \approx 0,84633

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