Em um grupo congresso existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual figuram 3 matemáticos e 2 estatísticos? R:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do próprio enunciado):
- Existem
matemáticos no grupo. - Existem
estatísticos no grupo. - Vai‑se formar uma comissão de
membros.
O que a questão pede: - A probabilidade de que, ao formar essa comissão de
membros escolhidos aleatoriamente (ou seja, todas as comissões de são igualmente prováveis), ela contenha exatamente matemáticos e estatísticos.
Passo 2
Ideia geral e justificativa do método (explicação didática e concreta).
Quando a seleção é feita sem ordem (uma comissão em que só importa quem está nela, não a ordem), contamos o número de subconjuntos possíveis usando combinações. A probabilidade pedida é:
Quando a seleção é feita sem ordem (uma comissão em que só importa quem está nela, não a ordem), contamos o número de subconjuntos possíveis usando combinações. A probabilidade pedida é:
- “Número total de comissões possíveis” é o número de maneiras de escolher
pessoas entre todas as (pois ). - “Número de comissões favoráveis” é o número de maneiras de escolher exatamente
entre os matemáticos e exatamente entre os estatísticos. Como essas escolhas são independentes entre si (escolher os matemáticos e escolher os estatísticos), multiplica‑se o número de escolhas de cada grupo.
Passo 3
Definição e fórmula das combinações (aula curta).
- A combinação de
elementos tomados a é o número de subconjuntos de tamanho que se pode formar a partir de elementos. Denota‑se por . - A fórmula é
onde
(lê‑se “n fatorial”) é o produto
. Exemplinho rápido e concreto:
, que corresponde às 10 maneiras de escolher 2 pessoas entre 5.
Passo 4
Escrever a expressão da probabilidade com combinações (aplicando a ideia).
Pelo raciocínio do passo 2, a probabilidade é
Pelo raciocínio do passo 2, a probabilidade é
Aqui:
-
conta as maneiras de escolher matemáticos dentre os . -
conta as maneiras de escolher estatísticos dentre os . -
conta todas as maneiras de escolher pessoas dentre os .
Passo 5
Calcular numericamente
e
(desenvolvendo as contas passo a passo).
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Multiplicando os dois resultados para o numerador:
Passo 6
Calcular numericamente
(com desenvolvimento das contas).
Fazendo passo a passo:
Dividindo pelo denominador
:
Logo
.
Passo 7
Calcular a probabilidade como fração e simplificar (mostrar fatoração e simplificação).
A probabilidade vale
A probabilidade vale
Vamos simplificar: fatorando parcialmente nota‑se que ambos têm fatores comuns
,
,
e
. Dividindo o numerador e o denominador por
(produto desses fatores) obtemos
Verificação rápida:
e
não têm fatores primos em comum (
,
), então a fração está irredutível.
Passo 8
Dar a aproximação decimal e interpretação final.
Convertendo para número decimal:
Convertendo para número decimal:
Interpretação: isso quer dizer que, escolhendo aleatoriamente uma comissão de
pessoas entre as
(15 matemáticos + 12 estatísticos), a chance de sair exatamente
matemáticos e
estatísticos é cerca de
.