Em um grupo congresso existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual figuram 3 matemáticos e 2 estatísticos? R: \frac{\binom{15}{3}\binom{12}{2}}{\binom{27}{5}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do próprio enunciado):
  • Existem 15 matemáticos no grupo.
  • Existem 12 estatísticos no grupo.
  • Vai‑se formar uma comissão de 5 membros.
    O que a questão pede:
  • A probabilidade de que, ao formar essa comissão de 5 membros escolhidos aleatoriamente (ou seja, todas as comissões de 5 são igualmente prováveis), ela contenha exatamente 3 matemáticos e 2 estatísticos.

Passo 2

Ideia geral e justificativa do método (explicação didática e concreta).
Quando a seleção é feita sem ordem (uma comissão em que só importa quem está nela, não a ordem), contamos o número de subconjuntos possíveis usando combinações. A probabilidade pedida é:
\text{Probabilidade}=\frac{\text{número de comissões favoráveis}}{\text{número total de comissões possíveis}}.úõáúõí
  • “Número total de comissões possíveis” é o número de maneiras de escolher 5 pessoas entre todas as 27 (pois 15+12=27).
  • “Número de comissões favoráveis” é o número de maneiras de escolher exatamente 3 entre os 15 matemáticos e exatamente 2 entre os 12 estatísticos. Como essas escolhas são independentes entre si (escolher os matemáticos e escolher os estatísticos), multiplica‑se o número de escolhas de cada grupo.

Passo 3

Definição e fórmula das combinações (aula curta).
  • A combinação de n elementos tomados k a k é o número de subconjuntos de tamanho k que se pode formar a partir de n elementos. Denota‑se por \displaystyle \binom{n}{k}.
  • A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê‑se “n fatorial”) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplinho rápido e concreto: \displaystyle \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10, que corresponde às 10 maneiras de escolher 2 pessoas entre 5.

Passo 4

Escrever a expressão da probabilidade com combinações (aplicando a ideia).
Pelo raciocínio do passo 2, a probabilidade é
\frac{\binom{15}{3}\binom{12}{2}}{\binom{27}{5}}.
Aqui:
  • \displaystyle \binom{15}{3} conta as maneiras de escolher 3 matemáticos dentre os 15.
  • \displaystyle \binom{12}{2} conta as maneiras de escolher 2 estatísticos dentre os 12.
  • \displaystyle \binom{27}{5} conta todas as maneiras de escolher 5 pessoas dentre os 27.

Passo 5

Calcular numericamente \displaystyle \binom{15}{3} e \displaystyle \binom{12}{2} (desenvolvendo as contas passo a passo).
Calculemos \displaystyle \binom{15}{3}:
\binom{15}{3}=\frac{15!}{3!12!}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=\frac{2730}{6}=455.
Calculemos \displaystyle \binom{12}{2}:
\binom{12}{2}=\frac{12!}{2!10!}=\frac{12\cdot11}{2\cdot1}=66.
Multiplicando os dois resultados para o numerador:
\binom{15}{3}\binom{12}{2}=455\cdot66=30030.

Passo 6

Calcular numericamente \displaystyle \binom{27}{5} (com desenvolvimento das contas).
\binom{27}{5}=\frac{27!}{5!22!}=\frac{27\cdot26\cdot25\cdot24\cdot23}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo passo a passo:
27\cdot26=702,\quad 702\cdot25=17550,\quad 17550\cdot24=421200,\quad 421200\cdot23=9687600.
Dividindo pelo denominador 5!=120:
\frac{9687600}{120}=80730.
Logo \displaystyle \binom{27}{5}=80730.

Passo 7

Calcular a probabilidade como fração e simplificar (mostrar fatoração e simplificação).
A probabilidade vale
\frac{30030}{80730}.
Vamos simplificar: fatorando parcialmente nota‑se que ambos têm fatores comuns 2, 3, 5 e 13. Dividindo o numerador e o denominador por 390 (produto desses fatores) obtemos
\frac{30030}{80730}=\frac{77}{207}.
Verificação rápida: 77 e 207 não têm fatores primos em comum ( 77=7\cdot11, 207=3^2\cdot23), então a fração está irredutível.

Passo 8

Dar a aproximação decimal e interpretação final.
Convertendo para número decimal:
\frac{77}{207}\approx 0,37198\\ (\text{aproximadamente }0{,}372).
Interpretação: isso quer dizer que, escolhendo aleatoriamente uma comissão de 5 pessoas entre as 27 (15 matemáticos + 12 estatísticos), a chance de sair exatamente 3 matemáticos e 2 estatísticos é cerca de 37{,}2\%.

Resposta

\displaystyle \frac{\binom{15}{3}\binom{12}{2}}{\binom{27}{5}}=\frac{30030}{80730}=\frac{77}{207}\approx0,37198

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