Um grupo que consta de 5 homens e 10 mulheres se divide aleatoriamente em 5 grupos de 3 pessoas cada uma. Determine a probabilidade de que em cada grupo de pessoas haja um homem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um grupo com 5 homens e 10 mulheres que vai ser dividido aleatoriamente em 5 grupos, cada um com 3 pessoas. Queremos descobrir a probabilidade de que em cada grupo tenha exatamente um homem. Para resolver isso, vamos precisar usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as maneiras de combinar elementos de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em quantas maneiras diferentes podemos formar os 5 grupos de 3 pessoas a partir das 15 pessoas totais (5 homens + 10 mulheres). Como a ordem dos grupos não importa, usamos a combinação.
A fórmula para combinações é:
onde $ n $ é o total de elementos e $ k $ é o número de elementos escolhidos.
Passo 3
Calculamos o número total de maneiras de dividir 15 pessoas em 5 grupos de 3:
Aqui, $ 15! $ é o número total de maneiras de organizar 15 pessoas, dividido por $ (3!)^5 $ porque cada grupo de 3 pode ser rearranjado de $ 3! $ maneiras que não importam, e por $ 5! $ porque a ordem dos 5 grupos também não importa.
Passo 4
Agora, queremos contar as maneiras específicas de formar os grupos onde cada grupo tem exatamente um homem. Temos 5 homens e 10 mulheres.
Primeiro, vamos distribuir os 5 homens em 5 grupos:
Cada homem vai para um grupo diferente.
Passo 5
Depois de colocar um homem em cada grupo, precisamos preencher as vagas restantes com mulheres. Cada grupo já tem 1 homem e precisa de mais 2 pessoas, todas mulheres. Temos 10 mulheres para distribuir em 5 grupos, 2 em cada.
O número de maneiras de fazer isso é:
Aqui, $ 10! $ é para organizar as mulheres, dividido por $ (2!)^5 $ porque a ordem das 2 mulheres em cada grupo não importa.
Passo 6
Agora, juntamos tudo para encontrar o número de maneiras favoráveis:
Passo 7
Finalmente, a probabilidade desejada é a razão entre as maneiras favoráveis e o total de maneiras possíveis:
Resposta
A probabilidade de que em cada grupo haja exatamente um homem é: