Um grupo que consta de 5 homens e 10 mulheres se divide aleatoriamente em 5 grupos de 3 pessoas cada uma. Determine a probabilidade de que em cada grupo de pessoas haja um homem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um grupo com 5 homens e 10 mulheres que vai ser dividido aleatoriamente em 5 grupos, cada um com 3 pessoas. Queremos descobrir a probabilidade de que em cada grupo tenha exatamente um homem. Para resolver isso, vamos precisar usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as maneiras de combinar elementos de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em quantas maneiras diferentes podemos formar os 5 grupos de 3 pessoas a partir das 15 pessoas totais (5 homens + 10 mulheres). Como a ordem dos grupos não importa, usamos a combinação.
A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k! cdot (n - k)!
onde $ n $ é o total de elementos e $ k $ é o número de elementos escolhidos.

Passo 3

Calculamos o número total de maneiras de dividir 15 pessoas em 5 grupos de 3:
Total de formas = 15!(3!)^5 cdot 5!
Aqui, $ 15! $ é o número total de maneiras de organizar 15 pessoas, dividido por $ (3!)^5 $ porque cada grupo de 3 pode ser rearranjado de $ 3! $ maneiras que não importam, e por $ 5! $ porque a ordem dos 5 grupos também não importa.

Passo 4

Agora, queremos contar as maneiras específicas de formar os grupos onde cada grupo tem exatamente um homem. Temos 5 homens e 10 mulheres.
Primeiro, vamos distribuir os 5 homens em 5 grupos:
Distribuição dos homens = 5! çã
Cada homem vai para um grupo diferente.

Passo 5

Depois de colocar um homem em cada grupo, precisamos preencher as vagas restantes com mulheres. Cada grupo já tem 1 homem e precisa de mais 2 pessoas, todas mulheres. Temos 10 mulheres para distribuir em 5 grupos, 2 em cada.
O número de maneiras de fazer isso é:
Distribuição das mulheres = 10!(2!)^5 çã
Aqui, $ 10! $ é para organizar as mulheres, dividido por $ (2!)^5 $ porque a ordem das 2 mulheres em cada grupo não importa.

Passo 6

Agora, juntamos tudo para encontrar o número de maneiras favoráveis:
Maneiras favoráveis = 5! times 10!(2!)^5 á

Passo 7

Finalmente, a probabilidade desejada é a razão entre as maneiras favoráveis e o total de maneiras possíveis:
Probabilidade = 5! times 10!(2!)^515!(3!)^5 cdot 5! = 5! times 10! times (3!)^5(2!)^5 times 15!

Resposta

A probabilidade de que em cada grupo haja exatamente um homem é:
5! times 10! times (3!)^5(2!)^5 times 15!

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